已知函数f（x）=a-1|x|．

证明：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-
1
x，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-
1
x1）-（a-
1
x2）=
1
x2 −
1
x1=
x1−x2
x1x2＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）由题意a＜
1
x+2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+
1
x，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（-∞，3]．