这其实是到几何题.
你画个坐标轴,其中O点坐标（0,0）,A点坐标（√3,1）
所以向量OA就代表了（√3）+i
因为Z也是一个复数,所以也可以理解为一个向量,且它是未知的
所以Z表示的是以A点为起点,任意点为终点（不妨设其为B）的向量AB
因此Z+（√3）+i,就是2个向量的和,即OA+AB=OB
|Z+（√3）+i|≤1 此式的意思是,向量OB的模的最大值为1
所以B点肯定是落在以O点为圆心,1为半径的圆的内部或圆的边上
上面的那个圆,与向量OA所在的直线相交于2点
分别是（√3/2,1/2)点,设其为C点；（-√3/2,-1/2)点,设其为D点
好了,前面说了这么多,就是为了画出图形,下面就可以很容易的看出：
（1）当Z向量的终点是C点时,Z的模最小（即Z的长度最短）；当Z向量的终点是D点时,Z的模最大（即Z的长度最长）；
|Z|最大=3,|Z|最小=1
（2）还没想出来,不过方法应该和第三题差不多 - -!
(3) 设当Z向量沿着OA向量的反方向,移动OA向量的模的距离后的终点为B2点,向量Z从向量AB变为向量OB2
|Z-√3|^2+|Z-2i|^2,这个式子的含义为：B2点和（√3,2）点的距离的平方
（当然,也可以让Z向量不动,让它的起点仍然为A,然后让点（√3,2）沿着OA向量的正方向,移动OA向量的模的距离,使得点（√3,2）的坐标,变为 （2√3,3）点,设其为E点,而且似乎这种方法更直观,下面就以这种方法继续做下去...）
现在我们知道Z向量的终点在第一题画出的圆里,那么很容易可以求出圆里哪一点离E点（2√3,3）最近,哪一点最远
即：过O点与（2√3,3）点的直线与圆的2个交点,就是式子|Z-√3|^2+|Z-2i|^2取最大值和最小值时,Z的终点坐标
所以|Z-√3|^2+|Z-2i|^2的最大值=（√21）+1,最小值=（√21）-1,（√21即OE的长度）
