在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,I是Rt三角形ABC的内角平分线的交点,ID垂直AB于D点

问题描述:

在Rt三角形ABC中,角ACB等于90度,I是Rt三角形ABC的内角平分线的交点,ID垂直AB于D点
(1)若AC等于6,BC等于8,AB等于10,求ID的长
(2)求证2ID+AB=AC+BC
1个回答 分类:数学 2014-10-29

问题解答:

我来补答
题呢?具体问题你不告诉我,我可帮不了你.拜托你把具体问题说出来吧.
再问: 请看问题补充,谢谢
再答: 你这道题有些问题,你看,∠CAB=90度,则意味着对边BC是斜边,而你在题中的第一问中又说道BC=8,AC=10,难道三角形的斜边会小于直角边吗?希望你再看看题目是不是发错了。谢谢。
再问: 对不起,发错了,是角ACB等于90度,题目其余的是没有错的。能帮我看看怎么做吗,谢谢!
再答: (1)设ID=x.
过点I做IE垂直于AC,IF垂直于AB。
因为点I是该三角形三条角平分线的交点,
所以点I是该三角形的内心。
所以根据三角形内心的性质有:IE=IF=ID=x。
又因为∠ACI=∠BCI=45度
所以CE=CF=IE=IF=ID=x.
所以三角形ABC的面积=(6*8)/2=24=(1/2)*(8x+6x+10x)
所以x=2
即ID=2
(2)因为ID=IE=IF,∠IAE=∠IAD,∠IBD=∠IBF,∠ICE=∠ICF,∠IEA=∠IDA=∠IDB=∠IFB=∠IEC=∠IFC=90度
所以,三角形IEA全等于三角形IDA.三角形IDB全等于三角形IFB,三角形IEC全等于三角形IFC。
所以AD=AE,BD=BF,CE=CF.
又因为AB=AD+BD
且∠C=∠IEC=∠IFC=90度,CE=CF
所以,四边形IECF是正方形。
所以IE=CE,IF=CF
所以AD=AE=AC-IE,
BD=BF=BC-IF
又因为ID=IE=IF
所以AD=AE=AC-ID,
BD=BF=BC-ID
所以,AD+DB=AB=AC+BC-2ID
所以,AB+2ID=AC+BC
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