题目水准太差了,不过还是挑战一下极限,只用分部积分法(不换元) ：
∫3e^(2y)√{1+[6e^(2y)]²}dy
=∫(3/2)e^(2y)√{1+[6e^(2y)]²}d(2y)
=∫(1/4)√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]
=(1/4)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}-∫(1/4)[6e^(2y)]d√{1+[6e^(2y)]²}
=(1/4)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}-∫(1/4)[6e^(2y)]²/√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]
=(1/4)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}-∫(1/4)√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]+∫(1/4)/√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]
移项合并同类项后两边同时除以2得
∫3e^(2y)√{1+[6e^(2y)]²}dy
=∫(1/4)√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]
=(1/8)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+(1/8)∫1/√{1+[6e^(2y)]²}d[6e^(2y)]
=(1/8)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+(1/8)∫【1/√{1+[6e^(2y)]²}】【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】/【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】d[6e^(2y)]
=(1/8)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+(1/8)∫【1+[6e^(2y)]/√{1+[6e^(2y)]²}】/【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】d[6e^(2y)]
=(1/8)[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+(1/8)∫d【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】/【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】
=(1/8)（[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+ln【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】）+C
从而
∫(0→7)3e^(2y)√{1+[6e^(2y)]²}dy
=(1/8)（[6e^(2y)]√{1+[6e^(2y)]²}+ln【[6e^(2y)]+√{1+[6e^(2y)]²}】）|(0→7)
=(1/8){(6e^14)√(1+36e^28)-6√37-ln(6+√37)+ln[6e^14+√(1+36e^28)]}
