设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是正交矩阵

证明:因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]
= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)
= E
所以A是正交矩阵.
再问： 2(αα^T)^T/(α^Tα)=2(αα^T)/(α^Tα)？
再答： 2(αα^T)/(α^Tα) 这个式子中 2/(α^Tα) 是一个数 αα^T 是n阶矩阵 (αα^T) = (α^T)^Tα^T = αα^T --(AB)^T=B^TA^T
再问： 懂啦，谢谢老师
再答： OK 回答追问的时候我忘打了一个转置符号, 因为被推荐后不能修改,我还着急发了个评论 写在这里吧 免得让别人误会 (αα^T)^T = (α^T)^Tα^T = αα^T