如图将一块直角三角形纸板的顶点放在C(1,1\2)处,两直角边分别与x,y轴平行,纸板的另两个顶点A,B恰好是直线y=k

分析：（1）由题意易知点A横坐标为1,代入Y= mX,可用含m的的代数式表示它的纵坐标；同理可表示点B坐标,再代入方程组 Y=KX+2分之9
Y=M分之X即可求m和k的值；
（2）用反证法证明．假设存在,运用一元二次方程判别式即可解出．
（1）∵A,B在双曲线y= mx（m＞0）上,AC‖y轴,BC‖x轴,
∴A,B的坐标分别（1,m）,（2m,12）．
又点A,B在直线y=kx+ 2分之9上,∴ m=k+2分之9
2分之1=2mk+2分之9
解得 k=-4 m=2分之1
或 k=负2分之1 m=4
当k=-4且m= 12时,点A,B的坐标都是（1,12),不合题意,应舍去
当k=负2分之1且m=4时,点A,B的坐标分别为（1,4）,（8,2分之1),符合题意
∴k=负2分之1且m=4
（2）假设存在点P使得MN= 12AB．
∵AC‖y轴,MP‖y轴,
∴AC‖MP,
∴∠PMN=∠CAB,
∴Rt△ACB∽Rt△MPN,
AC分之MP=AB分之MN=2分之1
设点P坐标为P（x,x分之4）（1＜x＜8）,
∴M点坐标为M（x,负2分之1+ 2分之9）,
∴MP=负2分之1+2分之9-x分之4
又∵AC=4- 2分之1=2分之7
,∴ 负2分之1+2分之9-x分之4=4分之7,即2x²-11x+16=0
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0．
∴方程无实数根．
∴不存在点P使得MN= 2分之1AB．