kate told me she will go to london tomorrow ,

不用would.
因为说话人当天转述Kate的话时,tomorrow还没有到来,所以还是一般将来时.
例如,今天早上Kate跟我说“明天我要去伦敦”,下午或者晚上时,我对别人说“Kate明天要去伦敦”,那么从句还是用will.