问题描述：
如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA = EC.
⑴求证：AC^2= AE·AB；
⑵延长EC到点P,连结PB,若PB = PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.
⑶在⑵的条件下,若⊙O的半径为5,CF=2,求PB的长.
⑴求证：AC^2= AE·AB；
⑵延长EC到点P,连结PB,若PB = PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由.
⑶在⑵的条件下,若⊙O的半径为5,CF=2,求PB的长.
问题解答：
我来补答
1、连接BC,则：∠EAC=∠ECA=∠BAC=∠BCA
所以：△ABC∽△ACE
所以：AB/AC=AC/AE
所以：AC²=AB*AE
2、连接BC,BO则：∠ABC=∠BAC
而∠PEB=∠EAC+∠ECA=2∠EAC
所以：∠PBE=∠PBC+∠CBA=∠PEB=2∠EAC
即：∠PBC+∠CBA=2∠EAC
而：∠CBA=∠EAC
所以；∠PBC=∠EAC
即：∠PBC=∠BAC
而：OB是圆的半径,
所以：PB是圆的切线.即PB与圆O相切
3、因为：OC=5,CF=2
所以：OF=3
由勾股定理求得：BF=4
.
再问： 然后PB呢?
再答： 延长DC，BP交于M点。则△BMO是直角三角形 所以：BF²=MF*FO 即：MF=16/3 所以：MC=(16/3)=2=10/3 由元的切线定理求得：∠MBC=∠CAB=∠CBA 即：CB平分∠CBF 所以：BM/BF=MC/CF 所以：求得BM=[(10/3)*4]/2=20/3 由∠MBF=∠CEF知：∠M=∠FCE=∠PCM 所以：△PMC是等腰三角形，有PM=PC 连接PA，则△OAB也是等腰三角形， 而：∠BOC=2∠CAB， 所以：∠BOC=∠CEB，即∠BOF=∠CEF 所以：∠FCE=∠OBF 即：∠M=∠OBA 所以：△PMC∽△OBA 所以：BO/PM=AB/MC 即：5/PM=8/(10/3) 求得PM=25/12 所以：PB=(20/3)-(25/12)=55/12
所以：△ABC∽△ACE
所以：AB/AC=AC/AE
所以：AC²=AB*AE
2、连接BC,BO则：∠ABC=∠BAC
而∠PEB=∠EAC+∠ECA=2∠EAC
所以：∠PBE=∠PBC+∠CBA=∠PEB=2∠EAC
即：∠PBC+∠CBA=2∠EAC
而：∠CBA=∠EAC
所以；∠PBC=∠EAC
即：∠PBC=∠BAC
而：OB是圆的半径,
所以：PB是圆的切线.即PB与圆O相切
3、因为：OC=5,CF=2
所以：OF=3
由勾股定理求得：BF=4
.
再问： 然后PB呢?
再答： 延长DC，BP交于M点。则△BMO是直角三角形 所以：BF²=MF*FO 即：MF=16/3 所以：MC=(16/3)=2=10/3 由元的切线定理求得：∠MBC=∠CAB=∠CBA 即：CB平分∠CBF 所以：BM/BF=MC/CF 所以：求得BM=[(10/3)*4]/2=20/3 由∠MBF=∠CEF知：∠M=∠FCE=∠PCM 所以：△PMC是等腰三角形，有PM=PC 连接PA，则△OAB也是等腰三角形， 而：∠BOC=2∠CAB， 所以：∠BOC=∠CEB，即∠BOF=∠CEF 所以：∠FCE=∠OBF 即：∠M=∠OBA 所以：△PMC∽△OBA 所以：BO/PM=AB/MC 即：5/PM=8/(10/3) 求得PM=25/12 所以：PB=(20/3)-(25/12)=55/12
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