在以3 4 5为边直角三角形ABC所在平面中,求一点P,使PA+PB+PC的值最小

直角三角形ABC,设 BC 为斜边.
把三角形 PBC 以 B点 为轴,朝 BC 外侧旋转 60度,这时,C 转到C',P 转到 P' .
此时,BCC' 是一个等边三角形,BPP' 也是等边三角形.
显然,PC = P'C',PB = BP' = PP',于是,
PA+PB+PC = AP + PP' + P'C'
显然,直线段 AC' 是 PA + PB + PC = AP + PP' + P'C' 可能的最小值.
我们可以这样寻找 P点.按上述方法得到 C'点,连接 AC' ,作 BD 垂直 AC'于D,然后在 AC' 上（三角形ABC内）找到 P点,使 角PBD = 30度,同样,在 D 的另一侧,可以找到 P' 点,使 角P'BD = 30度 .
以上给出了寻找 P 点的方法,及可行性的证明.
PA+PB+PC 的最小值就是 AC' .只需利用三角的知识,可以求出 AC' .