已知抛物线y=x^2上两点A、B满足向量AP=λ向量PB(λ>0)其中点P的坐标为(0,1),向量OM=向量OA+向量O

设A(x1,x1²),B(x2,x2²),而P(0,1)
AP=(-x1,1-x1²) PB=(x2,x2²-1),又向量AP=λ向量PB
-x1=λ·x2 (1) （λ>0,说明x1与x2异号）
1-x1²=λ·(x2²-1) (2)
将(1)式平方,代入(2)式,可解得：x1²=λ,x2²=1/λ,∴x1·x2=-1
由向量OM=向量OA+向量OB易知,M为AB中点,设M(x,y)
∴2x=x1+x2,2y=x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1·x2=4x²+2
∴y=2x²+1
即M的轨迹方程为：y=2x²+1,是一条抛物线.