圆C：X^2+Y^2-2MX+4Y+M^2-5=0 和 圆C':X^2+Y^2+2X-2MY+M^2-3=0
X^2 + Y^2 - 2MX + 4Y + M^2 - 5 = X^2 - 2MX + M^2 + Y^2 + 4Y + 4 - 9
= (X-M)^2 + (Y+2)^2 - 9,
X^2 + Y^2 + 2X - 2MY + M^2 - 3 = X^2 + 2X + 1 + Y^2 - 2MY + M^2 - 4
= (X+1)^2 + (Y-M)^2 - 4.
因此,圆C 和 圆C'的方程可以化为,
圆C：(X-M)^2 + (Y+2)^2 = 9,
圆C':(X+1)^2 + (Y-M)^2 = 4.
所以,圆C的圆心为点(M,-2),半径为3.
圆C'的圆心为点(-1,M),半径为2.
圆C和圆C'的2个圆心之间的距离的平方为,
(M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5
2圆半径之和为 3 + 2 = 5,
大圆半径与小圆半径之差为 3 - 2 = 1.
当2个圆的圆心之间的距离 等于 2圆半径之和的时候,两圆外切.
也即,当 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 5^2 = 25时,两圆外切.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 = 25,
得,2M^2 + 6M - 20 = 2[M^2 + 3M - 10] = 2(M+5)(M-2) = 0,
解出,M = -5,或者,M = 2.
当M = -5,或者,M = 2时,两圆外切.
当2个圆的圆心之间的距离 大于 2圆半径之和的时候,两圆外离.
也即,当 (M+1)^2 + (M+2)^2 > (3 + 2)^2 = 25时,两圆外离.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 > 25,
得,2M^2 + 6M - 20 = 2[M^2 + 3M - 10] = 2(M+5)(M-2) > 0,
解出,M < -5,或者,M > 2.
当M < -5,或者,M > 2时,两圆外切.
当2个圆的圆心之间的距离 大于 大圆半径与小圆半径之差,并且,小于 2圆半径之和的时候,两圆相交.
也即,当 1 = (3 - 2)^2 < (M+1)^2 + (M+2)^2 < (3 + 2)^2 = 25时,两圆相交.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 < 25,
得,2M^2 + 6M - 20 = 2[M^2 + 3M - 10] = 2(M+5)(M-2) < 0,
解出,-5 < M < 2.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 > 1,
得,2M^2 + 6M + 4 = 2[M^2 + 3M + 2] = 2(M+1)(M+2) > 0,
解出,M < -2,或者,M > -1.
综合,有,-5 < M < -2,或者,-1 < M < 2.
当 -5 < M < -2,或者,-1 < M < 2时,两圆相交.
当2个圆的圆心之间的距离 等于 大圆半径与小圆半径之差的时候,两圆内切.
也即,当 (M+1)^2 + (M+2)^2 = (3 - 2)^2 = 1时,两圆内切.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 = 1,
得,2M^2 + 6M + 4 = 2[M^2 + 3M + 2] = 2(M+1)(M+2) = 0,
解出,M = -2,或者,M = -1.
当 M = -2,或者,M = -1时,两圆内切.
当2个圆的圆心之间的距离 小于 大圆半径与小圆半径之差的时候,两圆内含.
也即,当 (M+1)^2 + (M+2)^2 < (3 - 2)^2 = 1时,两圆内含.
由 (M+1)^2 + (M+2)^2 = 2M^2 + 6M + 5 < 1,
得,2M^2 + 6M + 4 = 2[M^2 + 3M + 2] = 2(M+1)(M+2) < 0,
解出,-2 < M < -1.
当 -2 < M < -1时,两圆内含.
