如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,角C=90°,BC=16,DC=12,AD=21..动点P从点D出发,沿直线DA

问题描述：

如图,在直角梯形ABCD中,AD‖BC,角C=90°,BC=16,DC=12,AD=21..动点P从点D出发,沿直线DA的方向以每秒2个单位长度长的速度运动,动点Q从C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到B时,点P随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形为等腰三角形?
（3）当线段PQ与线段AB想交于点O,且2AO=OB时,求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时间t,使PQ⊥BD?若存在求出t 不存在,说明理由.
这个问题有好几个都是要分类讨论的哦！

1个回答分类：综合 2014-11-10

问题解答：

我来补答

（1）过点P作PM⊥BC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形
∴PM=DC=12
∵QB＝16-t
∴S=(1/2)×12×(16-t)=96-6t
（2）CM=PD=2t,CQ=t,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,分三种情况：
①若PQ=BQ.在Rt△PMQ中,PQ²=t²+12²,由PQ²=BQ²得t²+12²=(16-t)²,解得t=7/2；
②若BP=BQ.在Rt△PMB中,BP²=(16-t)²+12².由BP²＝BQ²得：
(16-2t)²+12²=(16-t)²即3t²-32t+144=0.
由于Δ＜00 ∴无解
∴PB≠BQ
③若PB=PQ.由PB²=PQ²,得t²+12²=(16-2t)²+12²
整理,得3t²-64t+256=0.解得t1=16/3,t2=16（不合题意,舍去）
综上可知：当t=7/2秒或 t=16/3秒时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.
（3）由△OAP∽△OBQ,得AP/BQ=AO/OB=1/2
∵AP=2t-21,BQ=16-t,∴2(2t-21)=16-t
∴t=58/5
过点Q作QE⊥AD,垂足为E
∵PD=2t,ED=QC=t
∴PE=t
在RT△PEQ中,tan∠QPE=QE/PE=12/t=30/29
（4）设存在时刻t,使得PQ⊥BD
过点Q作QE⊥AD,垂足为E
由Rt△BDC∽Rt△QPE
得DC/BC=PE/EQ
即12/16=t/12
解得t=9
所以,当t=9秒时,PQ⊥BD

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