设直线l:y=k(x+1)与椭圆x^2+3y^2=a^2(a>0)相交于A、B两个不相同的点,与x轴相交于点C,记O为坐

方程y=kx+k与x^2+3y^2=a^2联立得
（1+3k^2)y^2-2ky+k^2-a^2k^2=0
∴y1+y2=(2k)/(1+3k^2) ……①
y1·y2=(k^2-a^2k^2)/(1+3k^2) ……②
|y1-y2|=√[4k^2-4(1+3k^2)(k^2-a^2k^2)]/(1+3k^2)
=2·√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2) ……③
∵向量AC=2向量 CB
∴点C分向量AB的定比为λ=2 ,且点C（-1,0）,|OC|=1
根据向量的定比分点公式-1=（x1+2x2)/(1+2)
0 =(y1+2y2)/(1+2)
即 x1+2x2+3=0 ……④
y1+2y2=0 ……⑤
下边由①②⑤联立得k^2=(9-a^2)/(3a^2-3) ……⑥
△OAB的面积S=1//2·|OC|·|y1-y2|
=√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2)
将⑥代入得：S=（√3）/8·√(-a^4+10a^2-9)
=(√3)/8·√[-(a^2-5)^2+16]
∴当a^2=5时,S最大
∴所求椭圆为 x^2+3y^2=5