问题描述：
已知球面上四点A,B,C,D,且AB,AC,AD两两垂直、AB=1,AC=2,AD=3,求球的表面积与体积
问题解答：
我来补答
这个题目我想了好多天,今天终于做出来了.做出来才发现不难,不过需要知道空间直角坐标系这个基本知识,其他方法我还没有想到.为了方便楼主理解,我用画图画了一个草图,这样可能比较形象具体.
言归正传,注意题目是AB,AC,AD两两垂直,什么东西是俩俩垂直呢?我们已经知道的就是xyz的坐标系了,也叫空间直角坐标系.那么我们以A点为原点,分别以AB,AC,AD为x y z 轴 作图,就能够确定B C D 的坐标
分别是B（1 0 0） C（0 2 0） D（0 0 3）
这样一来,我们会发现原来要求的球体就是这个三棱锥的外接球,那么我们就需要在空间某处求的一点到B C D的距离是一样的.假设该点为E（x y z）
于是我们根据球半径相等可以写出AE=BE=CE=DE
也就是方程
x^2+y^2+z^2=（x-1）^2+y^2+z^2=x^2+(y-2)^2+z^2=x^2+y^2+(z-3)^2
千万不要觉得次方程无解,稍微计算一下就会发现有一组解合适：
x=1/2 y=1 z=3/2
于是我们知道了球心的位置是（1/2 1 3/2）
这样一来半径也就知道了,带入x^2+y^2+z^2,然后开方,可得r=根号（7/2）
那么球的表面积就是S=4πr^2=28π
体积是V=(4πr^3)/3=7根号14π/3
此时我猜想有一个潜在的做题规律,凡是两两垂直的,且四点又都在球上的题目,球心位置就是各边长处以2的位置.楼主可以再试试其他类似题目已验证该规律的正确与否,并加以完善.
顺便说一下,百度这个答题不是很方便啊,数学符号都没有.
但愿我这个答案是对的吧,
言归正传,注意题目是AB,AC,AD两两垂直,什么东西是俩俩垂直呢?我们已经知道的就是xyz的坐标系了,也叫空间直角坐标系.那么我们以A点为原点,分别以AB,AC,AD为x y z 轴 作图,就能够确定B C D 的坐标
分别是B（1 0 0） C（0 2 0） D（0 0 3）
这样一来,我们会发现原来要求的球体就是这个三棱锥的外接球,那么我们就需要在空间某处求的一点到B C D的距离是一样的.假设该点为E（x y z）
于是我们根据球半径相等可以写出AE=BE=CE=DE
也就是方程
x^2+y^2+z^2=（x-1）^2+y^2+z^2=x^2+(y-2)^2+z^2=x^2+y^2+(z-3)^2
千万不要觉得次方程无解,稍微计算一下就会发现有一组解合适：
x=1/2 y=1 z=3/2
于是我们知道了球心的位置是（1/2 1 3/2）
这样一来半径也就知道了,带入x^2+y^2+z^2,然后开方,可得r=根号（7/2）
那么球的表面积就是S=4πr^2=28π
体积是V=(4πr^3)/3=7根号14π/3
此时我猜想有一个潜在的做题规律,凡是两两垂直的,且四点又都在球上的题目,球心位置就是各边长处以2的位置.楼主可以再试试其他类似题目已验证该规律的正确与否,并加以完善.
顺便说一下,百度这个答题不是很方便啊,数学符号都没有.
但愿我这个答案是对的吧,
展开全文阅读