已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(X1,0）、B

一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2,则有
(2)^2+2p+q+1=0,
q=-(2p+5).
设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(X1,0）、B(X2,0)两点,则有
y=x^2+px-(2p+5).
则顶点M的坐标为:(-p/2,-(p^2+8p+20)/4).
因为|AB|=|X2-X1|,
当Y=0时,有x^2+px-(2p+5)=0,
X1+X2=-p,
x1*x2=-(2p+5).
|AB|^2=|x2-x1|^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=(-p)^2+4(2p+5)
=p^2+8p+20.
令,△AMB的高为h,则h=|-(p^2+8p+20)/4|
S△AMB面积=1/2*|AB|*h
=1/8*√(p^2+8p+20)*(p^2+8p+20).
要使△AMB面积最小,则,p^2+8p+20,必须最小.
设,Y=p^2+8p+20,则有
Y=(p+4)^2+4,
当p=-4时,Y最小,
最小面积为:S△AMB面积=1.
q=-(2p+5)=3.
即,使△AMB面积最小时的抛物线的解析式是:
y=x^2-4x+3.