是否存在单调有界而处处不连续的函数

这题我能回答,但我刚看到
学过数学分析(或高数)然后再学点集合论或者测度论或者实变函数中的集合基数概念的可以回答
这种数学题可以在数学论坛或讨论班里问,那样会快一些
跟同学讨论也很有意义,别的不多说了
需要证明吗?我以为你不需要了,所以没多说,那我简单闲聊几句吧
单调函数,无非增或减,以增为例
那么由单调有界原理,函数在每点的左右导数都是存在的
设不连续点构成集合为S
那么对S中的任何一个点x,其左右导数都存在,但不相等,设其为a,b,ar_x,由于单调,所以是单的
因此S的基数要不比有理数集的大,所以S可以排成一排
而若一个函数处处不连续,那么S是个连续基数的,显然是不可排序的
所以不存在单调且处处不连续的函数