功率谱
周期运动在功率谱中对应尖锋,混沌的特征是谱中出现"噪声背景"和宽锋.它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法. 在很多实际问题中（尤其是对非线性电路的研究）常常只给出观测到的离散的时间序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子（零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子）的不同状态的信息呢? 我们可以运用数学上已经严格证明的结论,即拟合.我们将N个采样值加上周期条件Xn+i=Xi,则自关联函数（即离散卷积）为 然后对Cj完成离散傅氏变换,计算傅氏系数. Pk说明第k个频率分量对Xi的贡献,这就是功率谱的定义.当采用快速傅氏变换算法后,可直接由Xi作快速傅氏变换,得到系数 然后计算 ,由许多组{Xi}得一批{Pk'},求平均后即趋近前面定义的功率谱Pk. 从功率谱上,四种吸引子是容易区分的,如图12 (a),(b)对应的是周期函数,功率谱是分离的离散谱 (c)对应的是准周期函数,各频率中间的间隔分布不像(b)那样有规律. (d)图是混沌的功率谱,表现为"噪声背景"及宽锋. 考虑到实际计算中,数据只能取有限个,谱也总以有限分辨度表示出来,从物理实验和数值计算的角度看,一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的,这也正是功率谱研究的主要弊端.
