求证：1+n／2≤1+1／2+1／3+、、、+二的N次方分之一≤1／2+n（n∈正整数）

令a(n)=1+1/2+1/3+.+1/2^n
则a(n+1)=1+1/2+1/3+.+1/2^n+1/(2^n+1)+1/(2^n+2)+...+1/2^(n+1)
先证明左边：
当n=1时,a(n)=1+1/2=3/2;显然a(1)>=1+1/2
设当n=k(k>1,k属于正整数）时,a(k)>=1+k/2
则当n=k+1时,a(k+1)=1+1/2+1/3+.+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/2^(k+1)
=a(k)+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/2^(k+1)
注意到等式后面有2^(k+1)-(2^k+1)+1=2^k项
原式>=1+k/2+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/2^(k+1)
>1+k/2+2^k*[1/2^(k+1)] （因为后面每一项都比1/2^(k+1)大,又共 有2^k项）
>1+k/2+1/2=1+(k+1)/2
综上,对于所有正整数n都有1+n/2