设A为mxn实矩阵,A^tA是正定矩阵,
所以|A^tA|>0,从而（A^tA)的秩是n
从而方程(A^tA)X=0只有零解.
下面只要证方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解即可.
1）设α设是方程AX=0的解,那么Aα=0
从而（A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0,即α是方程(A^tA)X=0的解
2）设α设是方程（A^tA)X=0的解,则（A^tA)α=0
从而α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=0
而Aα是mx1的矩阵,设Aα=(x1,x2,...,xm)^t
所以α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由于x1,x2,...,xm是实数,所以x1=x2=...=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解,
因此方程(A^tA)X=0与方程AX=0有相同的解,从而Ax=0只有零解.
再问： 已知向量a1=(1,1,1)的七次方，求向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交，也会吗
再答： 向量a1=(1,1,1)的七次方？？？？这个有问题
再问： 哦 是T次方
再答： 设与a1=(1,1,1)^t都正交的向量是a=(x,y,z)^t 则x+y+z=0 基础解系b1=(-1,1,0)^t, b2=(-1,0,1)^t 其中b1,b2都与a1正交， 再把b1,b2正交化，用施密特正交化公式可得a2=(-1,1,0)^t a3=b2-[b2,b1]/[b1,b1]*b1=(-1,0,1)^t-1/2*(-1,1,0)^t =(-1/2, -1/2, 1) 注：[b2,b1]表示向量b2与向量b1的内积。 一般情况下：这种题目是求向量a2,a3，使a1,a2,a3两两正交的单位向量，否则答案不唯一的。方法就是上面的方法。
