二元函数u(x,y)=f(x)g(y)的充要条件是u(x,y)*u"(-xy)=u'(-x)*u'(-y)

必要性：若u=fg
则u'x=f' g
u'y=fg'
u"xy=f'g'
所以uu"xy=fg*f'g'=fg'*f'g=u'x*u'y
必要性成立

充分性：若uu"xy=u'x*u'y
uu"xy-u'x*u'y=0
化为: (uu'xy-u'x*u'y)/u^2=0
即：(u'x/u)'=0, 这里是对y求导
两边对y积分,有u'x/u=C1(x)
[ln|U|]'=C1(x)
两边对x积分得：ln|u|=C2(x)+D(y)
因此有|u|=e^c2(x)* e^D(y)
故u=f(x)*g(y)