证明：对于任意实数a,b,c,方程（x-a）(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0总有实数根.

展开方程化简得3x²-2（a+b+c）x+ac+bc+ab=0
判别式△=4（a+b+c）²-4*3（ac+bc+ab）
=4（a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc）-12（ac+bc+ab）
=4（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=2（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）
=2[（a²-2ab+b²）+（a²-2ac+c²）+（b²-2bc+c²）]
=2[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0
所以对于任意实数a,b,c,方程有实根