1.在△ABC中,求证（a^-b^-c^）tanA+（a^-b^+c^)tanB=0

解:
1.
由余弦定理:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
所以:
(a^2-b^2-c^2)tanA+(a^2-b^2+c^2)tanB
=-cosA*2bctanA+cosB*2actanB
=-2bccosA*sinA/cosA+2accosB*sinBcosB
=-2bcsinA+2acsinB
=2c(asinB-bsinA)
由正弦定理:
a/sinA=b/sinB
所以asinB-bsinA=0
所以原式=0
2.
(1)由于
sin(A+B)=3/5,
sin(A-B)=1/5
则有:
sinacosb+sinbcosa=3/5
sinacosb-sinbcosa=-1/5
解得:
sinacosb=1/5
sinbcosa=2/5
则:
sinacosb/sinbcosa
=tana/tanb
=1/2
则:
tanA=2tanB
(2)
由于C是锐角,
所以A+B是钝角
则:
cos(A+B)=-4/5,
cos(A-B)=2√6/5
则:
cosAcosB-sinAsinB=-4/5
cosAcosB+sinAsinB=2√6/5
则:
sinAsinB=(2+√6)/5
所以
三角形面积=absinC/2=AB*h/2
又sinC=sin(A+B)=3/5
则:
ab*3/5=3*h
h=ab/5
因为c/sinC=3/(3/5)=5
所以a/sinA=b/sinB=5
则:a=5sinA,b=5sinB
ab=25sinAsinB
则:
h=ab/5=5sinAsinB=2+√6