欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学.欧几里德几何有时就指平面上的几何,即平面几何.本文主要描述平面几何.三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何.高维的情形请参看欧几里德空间.数学上,欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设.数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何.其中公設五又稱之為平行公設（Parallel Axiom）,敘述比較複雜,這個公設衍生出「三內角和等於一百八十度」的定理.在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的時代,公設五就備受質疑,俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,也就是「三內角和不一定等於一百八十度」,從而發現非歐幾里德的幾何學,即「非歐幾何」（non-Euclidean geometry）.目录[隐藏] 1 公理描述 2 现代方法 3 经典定理 4 参见 [编辑] 公理描述 歐幾里得證明的要素,由於一個正三角形的存在必須包含每個線段,包含ΑΒΓ等邊三角形的構成,是由Α和Β兩點,畫出圓Δ與圓Ε,並且交叉於第三點Γ上.欧几里德几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”.欧几里德几何的五条公理是：任意两个点可以通过一条直线连接.任意线段能无限延伸成一条直线.给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆.所有直角都全等.若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交.第五条公理称为平行公理,可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线.平行公理并不像其他公理那么显然.许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功.19世纪,通过构造非欧几里德几何,说明平行公理是不能被证明的.（若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何.） 从另一方面讲,欧几里德几何的五条公理并不完备.例如,该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分.他用通常的方法进行构造：以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点.然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交.因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统.欧几里德还提出了五个“一般概念”,也可以作为公理.当然,之后他还使用量的其他性质.与同一事物相等的事物相等.相等的事物加上相等的事物仍然相等.相等的事物减去相等的事物仍然相等.一个事物与另一事物重合,则它们相等.整体大于局部.[编辑] 现代方法 如今,欧几里德几何的构造通常不是通过公理化方法,而是通过解析几何.通过这种方法,可以像证明定理一样证明欧几里德（或非欧几里德）几何中的公理.这一方法没有公理方法那么漂亮,但绝对简练.构造 首先,定义“点的集合”为实数对 (x,y) 的集合.给定两个点 P = (x,y) 和 Q = (z,t),定义距离：.这就是“欧几里德度量”.所有其他概念,如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义.例如通过点 P 和 Q 的直线可以定义成点的集合 A 满足 | PQ | = | PA | + | AQ | 或.[编辑] 经典定理 塞瓦定理 梅涅劳斯定理 托勒密定理 海伦公式 九点圆 勾股定理
