如图,△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,延长CA至D,以AD为直径作⊙O,

连接AE、AF
AC=BC,∠ACB=90,所以∠ABC=∠BAC=45
AD为直径,所以∠AED=∠AFD=90
∠AEB=180-∠AED=90,所以∠AEB+∠ACB=180,A、E、B、C四点共圆
因此∠AEC和∠ABC都是AC弧所对圆周角,∠AEC=∠ABC=45
∠CFD和∠EAD为圆内接四边形AEFD对角,所以∠CFD+∠EAD=180
∠CAE+∠EAD=180,所以∠CAE=∠CFD
又因为∠ECA=∠DCF,所以△ACE∽△FCD
∠FDC=∠AEC=45
AC：FC=AE：FD,FC=AC×FD/AE
∠ADE=∠BDC,∠AED=∠BCD=90,所以△ADE∽△BDC
BC：BD=AE：AD,BD=BC×AD/AE=AC×AD/AE
RT△AFD中,∠FDC=45,所以AD=√2FD
因此BD=√2FC
CF/BD=1/√2=√2/2