求极限 x->0+ (1 -cosx)(x^x-1)((√x+1)-1)/(1+cosx)^2*lnx*arctan(x^2)^2
(1 -cosx)(x^x-1)((√x+1)-1)/(1+cosx)^2*lnx*arctan(x^2)^2
=1/(1+cosx)^2 * (1 -cosx)/x^2 * (x^x-1)/xlnx * (√(x+1)-1)/x * [ x^2 /arctan(x^2) ]^2,
当x->0+ 时
（1）lim1/(1+cosx)^2=1/4；
反复用罗必达法则,
（2）lim(1 -cosx)/x^2=lim(1 -cosx)' / x^2' =lim sinx / 2x =1/2；
（3）lim(x^x-1)/xlnx =lim(x^x-1)' / xlnx ' =limx^x(lnx+1) / (lnx+1)=limx^x=1；
（4）lim(√(x+1)-1)/x=lim(√(x+1)-1)' / x' =lim1/2√(x+1) =1/2；
（5）limx^2 /arctan(x^2)=limtany/y =1；(记y=arctanx^2,则x^2=tany,x->0+ 时y ->0+)；
∴lim(1 -cosx)(x^x-1)((√x+1)-1)/(1+cosx)^2*lnx*arctan(x^2)^2 = 1/4 * 1/2 * 1 * 1/2 * 1^2=1/16.
注：
①（2）中用到了一个重要极限：limsinx/x=1(x->0),当然它也可以用罗必达法则证明,由此容易知道limtanx/x=limsinx/x * 1/cosx=1(x->0),这在（5）中用到.
②（3）用到 limx^x=1(x->0+),(x^x)' =x^x(lnx+1),
∵lim lnx^x =lim lnx/(1/x)=lim lnx' / (1/x)' =lim (1/x) / (-1/x^2)=lim -x =0 ∴limx^x=e^0=1,
从而xlnx=lnx^x ->0,所以（3）确实是0/0型不定式；
记y=x^x,则lny=xlnx,lny' =xlnx' ,y' /y=lnx+1 ∴y' =y(lnx+1)=x^x*(lnx+1),
