分式里的欧拉公式
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.
e^ix=cosx+isinx的证明：
因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”）
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x,得到：
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式
三角形中的欧拉公式
设R为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则：d＾2=R＾2-2Rr
拓扑学里的欧拉公式
V+F-E=X(P),V是多面体P的顶点个数,F是多面体P的面数,E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数.
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上）,那么X(P)=2,如果P同胚于一个接有h个环柄的球面,那么X(P)=2-2h.
X(P)叫做P的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围.
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数.n是一个正整数.
欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等.则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它.
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名.
(6) 立体图形里的欧拉公式：
面数+顶点数—2=棱数
