our school is on a river

第一个问题：从语法上来说,on the river和on a river都对,从意思上来说,也没有什么大区别,非要区分的话, on the river是在河边 ,on a river是在这一条河边,a 强调一条.如果你想深入的区分,这就是冠词之间的区别了,建议你看一下语法书.
第二个问题：on在这个句子里是介词,后面要加名词,river就是名词了,a 或者 the 只是用来形容river的,所以都可以.