∵x²-3x+1=0;则x≠0.
∴方程两边同除以x,得:x-3+1/x=0,x+1/x=3.
(1)x²+1/x²=(x+1/x)²-2x*(1/x)=3²-2=7;
(2)(x-1/x)²=(x+1/x)²-4x*(1/x)=3²-4=5.
◆分析：本题若采用先解方程求出x的值,然后用代入的方法求两个分式值的方法,显然也是可以的,只是要麻烦得多.为何本题可以利用题中的简捷方法呢?主要是因为方程有一定的特点.
◆总结：
特点1:方程中二次项和常数项的系数相等或互为相反数;(本题中是相等,且值都为1)
特点2:所要求的分式中有特殊的形式,诸如"x+1/x或x-1/x或x²+1/x²".
【例题】(1)已知方程x²+x-1=0,试求出：x²+1/x²的值.
观察可知,本方程中二次项与常数项系数互为相反数,且要求的分式符合那种特点.
由x²+x-1=0,可知：x≠0;
方程两边同除以x,得：x+1-1/x=0,x-1/x=-1.
∴x²+1/x²=(x-1/x)²+2x*(1/x)=1+2=3.
(2)已知方程3x²-10x+3=0.试求：x-1/x的值.
观察可知,本方程中二次项与常数项的系数是相等,且要求的分式符合那种特点.
由3x²-10x+3=0,可知：x≠0;
方程两边同除以x,得:3x-10+3/x=0,3x+3/x=10,x+1/x=10/3.
∴(x-1/x)²=(x+1/x)²-4x*(1/x)=100/9-4=64/9.
∴x-1/x=±8/3.
【注:若方程中二次项与常数项系数不相等也不互为相反数,就不能用这种方法了.】
