柯西不等式可以简单地记做：平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.
如：两列数
0,1
和
2,3
有
(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式.
还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式.
我这里只给出前一种证法.
Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi,则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令
f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有
Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些.我们现在的证明只是其中的一个特例罢了.
