任意一个三角形的内接圆半径为r,外接圆半径为R,请用r,R表示二圆的圆心距d等于什么?

三角形欧拉公式d²=R²-2rR的推导,如下图所示：



设ΔABC的三个顶角分别为A、B、C,内切圆圆心为O,外接圆圆心为P；
推导分三步,
第一步：用余弦定理关注ΔOAP；
第二步：用正弦定理关注ΔOAB；
第三步：证明最终结论.
第一步：用余弦定理关注ΔOAP：
∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|,
而由图易知：∠OAC＝A/2,∠PAC＝(∏/2)－B,
∴三角形的外接圆的圆心是其三边中垂线的交点,连接此交点与三顶点的连线,
由此分析其顶角被连线分得的6个角之间一些角的关系,易知：
∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|
＝| A/2－((∏/2)－B )|
＝| (∏/2)－((A/2)＋B)|
＝| (∏/2)－(((∏－(B＋C))/2)＋B)|
＝| (B－C)/2|
由余弦定理可知,在ΔOAP中有：
cos∠OAP＝(AP²＋AO²－OP²)/(2×AP×AO)——（1）
∵AP＝R、RtΔAOD中AO＝OD/sin(∠OAD/2) ＝r/sin(A/2)、OP=d；
∴将各等量代入等式（1）得：
cos| (B－C)/2|＝(R²＋(r/sin(A/2))²－d²)/(2×R×(r/sin(A/2)))
化简上式,得：
d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²——（2）
第二步：用正弦定理关注ΔOAB：
由正弦定理可知,在ΔABC中有：
AB/sinC=2R——（3）
∵在RtΔOAE和RtΔOBE中分别有：
AE＝OE×cot∠OAE＝r×cot(A/2),
EB＝OE×cot∠OBE＝r×cot(B/2),
又∵AB＝AE＋EB
∴将各等量代入等式（3）得：
((r×cot(A/2))＋( r×cot(B/2)))/sinC＝2R
由三角函数的一系列公式,来化简上式：
r/R＝2×sinC/(cot(A/2)＋cot(B/2))
＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2))/((cos(A/2)/sin(A/2))＋(cos(B/2)/sin(B/2)))
＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2) ×sin(A/2)×sin(B/2))/(sin(A/2)×cos(B/2)＋cos(A/2)×sin(B/2))
＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)
∵sin((A＋B)/2)＝sin((∏－C)/2)＝sin((∏/2)－(C/2))＝cos(C/2)
∴2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)
＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/cos(C/2)
＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)
即r/R＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)——（4）
第三步：证明最终结论
假设等式（2）d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²中,
－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立,
由三角函数的一系列公式,来化简上式：
r/R＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin(A/2))
＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin((∏－(B＋C))/2))
＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－cos((B＋C)/2))
由和差化积公式,可知
＝2×sin(A/2)×(－2)×sin(B/2)×sin(－C/2)
＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)
由等式（4）可知－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立,
于是d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝R²－2rR
即d²＝R²－2rR,则d＝√(R²－2rR)
于是得到最终的结论,即三角形欧拉公式的内容为：
任意三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R,两圆圆心距为d,则有d²＝R²－2rR