已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0．
又∵△=b²-4ac≥-4ac＞0，∴方程ax²+bx+c=0有两个不等实根．
所以，函数f（x）必有两个零点．
（2）令g（x）=f（x）-
1
2[f（x₁）+f（x₂）]，
则g（x₁）=f（x₁）-
1
2[f（x₁）+f（x₂）]=
f(x1)−f(x2)
2，
g（x₂）=f（x₂）-
1
2[f（x₁）+f（x₂）]=-
f(x1)−f(x2)
2，
∴g（x₁）•g（x₂）=
f(x1)−f(x2)
2•
f(x2)−f(x1)
2=-
1
4[f（x₁）-f（x₂）]²．
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0．
∴g（x）=0在（x₁，x₂）内必有一实根．
∴方程f（x）=
1
2[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）内必有一实根．
再由 g（x₁）•g（x₂）＜0可得二次函数g（x）的函数值可正可负，
故函数g（x）=f（x）-
1
2[f（x₁）+f（x₂）]的图象与x轴一定有两个交点，
故方程f（x）=
1
2[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根．
综上可得，方程f（x）=
1
2[f（x₁）+f（x₂）]有两个不等实根，且必有一实根属于（x₁，x₂）．