g(x)=f(x)/x x≠0 g（x）=f′（0） x=0 知道f（x）有二阶连续导数 f（0）=0 证g可导且导函数

g(x)=f(x)/x ; x≠0
=f′(0) ; x=0
g'(x) = lim(y->0) [g(x+y) - g(x)] / y
g'(0) = lim(y->0) [ g(y) - g(0) ]/y
= lim(y->0) [ f(y)/y - f'(0) ]/y
= lim(y->0) [ f(y) - yf'(0) ]/y^2 (0/0)
= lim(y->0) [ f'(y) - f'(0) ] /(2y) (0/0)
=lim(y->0) f''(y) / 2
= f''(0)/2
for x≠0
g(x) = f(x)/x
g'(x) = [xf'(x) - f(x) ]/x^2
lim(x->0) g'(x)
=lim(x->0) [xf'(x) - f(x) ]/x^2 (0/0)
= lim(x->0) [xf''(x)] /(2x)
= lim(x->0) [ f''(x)/2]
=f''(0)/2
lim(x->0) g'(x) = g'(0)
=>g可导且导函数连续
再问： 逻辑就是说我假设g（x）可导，然后证明了导函数在0处连续，所以也可以说明它可导了，是这样么？
再答： for x≠0 g(x) = f(x)/x g 在 x≠0 g'(x) 存在，那是不用质疑 g'(x) = lim(y->0) [g(x+y) - g(x)] /y (这是导数的定义) 我已经证明了它存在，而且 g'(0) =f''(0)/2 = lim(x->0) g'(x)