求x+x^3/3+x^5/5+…+x^(2n+1)/(2n+1)+…的和函数。

收敛域是(-1,1),设和函数是s(x),逐项求导得s'(x)=1+x^2+x^4+...+x^(2n)+...=1/(1-x^2).
积分,s(x)=s(0)+∫(0到x) s'(x)dx=∫(0到x) 1/(1-x^2)dx=1/2×ln((1+x)/(1-x)).
再问： 要把收敛域代入s'(x)里不？？我看到例题有带……
再答： 严格、详细的步骤应该是时时注明幂级数的收敛域，不写也可以，只在关键的步骤(比如逐项求导或积分后，收敛域变了)以及最后的结果中注明收敛域。对于本题来说，所有的幂级数的收敛域都是(-1,1)，所以略掉了。