概念：一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程,直线系方程中除含变量x 、y以外,还有可以根据具体条件取不同值的变量,称为参变量,简称参数.几种常见的直线系方程：
（1）过已知点P（x0,y0）的直线系方程：y－y0＝k（x－x0）（k为参数）或x=x0(k不存在时）
（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）
（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）
（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：
A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）不含l2
具有某一共同性质的直线的集合叫做直线系,它的方程叫做直线系方程.
确定平面上一条直线,需要两个独立且相容的几何条件,如果只给定一个条件,直线的位置不能完全确定.另一方面,如果只给定一个几何条件时,二元一次方程的两个独立的系数中,只有一个被确定,那个未被确定的系数是参数.
利用直线系方程求直线,可以简化计算过程,欲求适合某两个几何条件的直线的方程,可先用其中一个条件写出直线系方程,再用另一个条件来确定参数值.
常见的直线系的名称、条件、图形、方程如下表：
常见的直线系方程和它的图形表
用直线系方程求适合某一条件的直线时,应注意不能被该方程表示的直线(例如,过定点(x1,y1)的直线系方程,不能表示直线x-x1=0),若它符合已知条件,应收入.
过两直线交点的直线系方程有两种形式.其中(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0 较简单些,但它不能包含直线A2x＋B2y＋C2=0本身.而方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0,(m,n不同时为零的实数),可以避免这个缺陷.
例1：求与直线3x＋4y－7=0垂直,且在x轴上的截距为(-2)的直线.
解法一：利用“垂直”写出直线系方程,再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数.
和直线3x+4y－7=0垂直的直线系方
程是4x－3y＋m=0(其中m是参数).
直线方程是4x－3y+8=0．
解法二：利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系,再用“垂直”这个条件确定参数.
∵此直线过点(-2,0)用点斜式写出直线系y－0=k(x＋2),即y=k(x＋2),(斜率k是参数).
k1k=-1
例2：求和直线3x＋4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.
解法一：先用“平行”这个条件写出直线系方程,再用“面积”这个条件确定参数.
与直线3x+4y＋2=0平行的直线系方程是
所求直线l的方程为3x＋4y±24=0．
解法二：先用“面积”这个条件写出直线系方程,再用“平行”这个条件确定参数.
设所求直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则有
画草图可知a、b同号,
∴｜ab｜＝ab．
48x＋a2y－48a＝0②．因为②式的直线与3x＋4y＋2＝0平行,
所求直线为48x＋64y-48(±8)＝0．
即3x＋4y±24=0．
例3：已知两直线
l1∶x＋2＝0,
l2∶4x＋3y＋5＝0．及定点A(-1,－2)．
求：直线l,它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1.
解法一：先利用“过l1、12的交点”写出直线系方程,再根据“l与A点距离等于1”来确定参数.
过l1、l2交点的直线系方程是
(x＋2)＋λ(4x＋3y＋5)＝0,λ是参数.化为
(1+4λ)x+3λy＋(2＋5λ)＝0①．
得λ=0.
代入方程①,得x＋2=0.因为直线系方程①中不包含l2,所以应检查l2是否也符合所求l的条件.
∴l2也符合要求.
答：所求直线l的方程是
x+2=0和4x+3y+5=0．
解法二：l1、l2的交点为(－2,1),过这点的直线系方程为
y－1=k(x＋2)②,斜率k是参数.
即kx－y＋(2k＋1)＝0③,再根据方程③的直线与点A(-1,-2)的距离为1,来确定参数k.
得所求直线l的方程为4x＋3y＋5=0.
因为直线系方程②不包括与y轴平行的直线,所以应检查过点(－2,1)且与y轴平行的直线
x=－2是否符合所求直线l的条件.
∵点A(-1,-2)到直线x=-2的距离为1,所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求,应该补上,
答：所求直线l的方程是
x＋2=0和4x＋3y＋5=0．
例4：在△ABC中,
AB边所在直线方程为4x＋y－12=0.
高BH所在直线方程为5x-4y－15=0.
高AH所在直线方程为2x+2y-9=0.
求：第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程.
(1)H为垂心,CH过BH与AH的交点,且与AB垂直.
过BH与AH交点的直线系方程为
(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①,即
(5＋2λ)x＋(-4＋2λ)y＋(-15－9λ)＝0 ②．
∴②与AB垂直,(即CH⊥AB),
代入①,得CH所在直线方程是3x-12y-1＝0．
(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线,可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程
(4x+y-12)+λ(2x＋2y－9)=0③,即
(4＋2λ)x+(1+2λ)y＋(-12-9λ)=0④,
∵AC⊥BH,
∴5(4＋2λ)＋(-4)(1＋2λ)＝0,得λ=-8.
代入④得直线AC的方程是4x+5y-20＝0.
例5：已知2a-3b＝1(a,b∈R),
求证：直线ax＋by-5=0必过一个定点,并求出此定点.
代入ax＋by-5＝0,得(x-10)＋b(3x＋2y)=0①
∵b是实数,
∴方程①可看作过两相交直线交点的直线系方程,这两条直线分别是
l1∶x－10＝0,
l2∶3x+2y＝0,这两条直线的交点坐标为P(10,-15).
∵P点坐标代入直线ax＋by-5＝0的左边得
a×10＋b(-15)-5
=5(2a-3b)-5
=5×1-5
＝0．
(注意2a-3b＝1是已知条件),
∴直线ax＋by－5=0过定点P(10,－15).
例6已知直线l1∶2x-3y-1＝0,l2：3x－y-2=0,l3：7x-7y-2009=0；求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程.
分析：过两直线l1,l2的交点的直线系方程为l1＋λl2＝0(λ∈R),根据已知条件,用待定系数法求出λ即可.
设λ为待定系数,则所求直线系方程是
(2x-3y-1)+λ(3x－y-2)=0,①
整理为
(2＋3λ)x＋(-3-λ)y＋(-1-2λ)=0．②
∵方程②与直线l3垂直,其系数关系为
7(2＋3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4 ③
③式代入②,所求直线为7x＋7y－6=0.
例7：长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动,点P(0,1)与A点连成直线,点Q(1,2)与B点连成直线,求直线PA和直线QB交点的轨迹方程；并作出草图.
如图J1－15．设交点为M(x,y,)．A(a,0),则B(a＋1,0),直线PA方程为
即x＋ay=a．
直线BQ方程为
即2x＋ay-2-2a=0．
∴动点M的参数方程为
2x＋ay-2-2a＝0
消去参数a得轨迹方程为
例8：已知定点O(0,0)和A(6,0),M是OA中点,以OA为一边作菱形OABC交于P点.当菱形变动时,求P点的轨迹方程.
如图J1－17.设动点为P(x,y),相关点为(x′,y′),A(6,0),则M(3,0)
∵|AB|=|AO|=6
∴(x-4)2+y2=4
所求轨迹方程为(x-4)2＋y2＝4．(去掉(6,0)和(2,0)两点)．
例9：在△ABC中,B,C为定点,tgB·tgC=3ctgA+1,且ctgA≠0,求动点A的轨迹方程.
如图J1－18．设A(x,y),B(－a,0),C(a,0)．
∵-3ctgA=1-tgB·tgC
∴tgB＋tgC＝3．
设角α＝∠XCA
tgC=-tgα=-kAC
所求轨迹方程为：3x2＋2ay－3a2=0．
例10．一动点到正三角形三边的距离的平方和等于常数,求动点的轨迹方程.
如图J1－19,取正三角形ABC的AB边的所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系．
设△ABC的边长为2a(a＞0),则A(-a,0),B(a,0),
作PL⊥AB于L,PM⊥BC于
M,PN⊥AC于N．
∴｜PL｜2＋｜PM｜2＋｜PN｜2＝λ2
(λ＞0,λ为定值).
AC所在直线方程为
BC所在直线方程为
故P点的轨迹方程为
当λ＜a时,无轨迹.
例11：曲线C的方程是f(x,y)=0,那么曲线C关于直线y=x－2的对称曲线C′的方程是 [ ]
(A)f(y+2,x)=0．
(B)f(x-2,y)=0．
(C)f(y＋2,x-2)=0．
(D)f(y-2,x＋2)=0．
分析：根据示意图J1－20的直观思考.
∴f(x,y)=
f(y′＋2,x′-2)=0
即f(y＋2,x－2)=0．
∴应选择(C)．
