函数f(x)的定义域为R,任意实数x,总有f(x)=f(x-1)+f(x+1),求证:f(x)为周期函数

根据f(x)=f(x-1)+f(x+1),
则 f(x+1)=f(x)+f(x+2),
所以f(x)=f(x-1)+f(x+1)=f(x-1)+f(x)+f(x+2),
所以f(x-1)=-f(x+2)
记t=x-1,则x=t+1,代入f(x-1)=-f(x+2),有
f(t)=-f(t+3),
依此同样有f(t+3)=-f((t+3)+3)=-f(t+6),
所以f(t)=f(t+6),
据周期函数的定义可知,6是函数f(x)的一个
周期,所以它是周期函数.