线性代数：矩阵A与B相似的充分条件

你能有这样的结论是因为工科数学研究不够深入,一般只讨论实对称矩阵或对称矩阵.
我来举个例子
110
010
001
与
110
011
001
两个3阶矩阵的特征值和秩都相同,却不相似(这个你不用验证,这是jordan标准型~不一样一定不相似)
这样给你讲:你记得矩阵有相抵标准型吧?就是任何矩阵都可以经过初等变换为对角线上是1和0的矩阵,可以看他的秩用~那叫相抵标准型
同样,矩阵也有相似标准型:jordon标准型,只有标准型一样,矩阵才相似.对应的就是上边那位说的不变因子组初等因子组相同,或是拉姆达矩阵相抵.想必你学工科都没听过.
你的结论可以在对称矩阵时成立.
证明对称阵A,B,存在正交阵U,U逆AU=diag对角线上为特征值.如果两个矩阵特征值全相同 就有U1逆AU1=U2逆BU2,A,B相似