设A是n阶实对称矩阵 证明:A是半正定矩阵当且仅当对任意n阶半正定矩阵B都有tr(AB)大于等于

必要性:
若A,B半正定,则存在C使得B=CC^T,那么tr(AB)=tr(ACC^T)=tr(C^TAC)>=0
充分性:
反证法,若A不是半正定的,则至少有一个负特征值λ
再问： 您好，我还想弱弱地问一下tr(ACC^T)=tr(C^TAT) 里面的矩阵为什么可以交换啊 多谢了
再答： 矩阵乘法本身当然是不能交换的, 但是tr具有tr(XY)=tr(YX)的性质