微积分中定积分的一个证明题目

证明：记g(t)=∫[0,t]f(x)dx-f²(t)/2
则g'(t)=f(t)-f(t)f'(t)=f(t)(1-f'(t))
由f(x)=∫[0,x]f'(t)dt,0≤f'(t)≤1
∴f(x)≥0,∴g'(t)=f(t)(1-f'(t))≥0
=> g(t)≥g(0)=0,0≤t≤1
即∫[0,t]f(x)dx≥f²(t)/2,0≤t≤1
再记h(t)=(∫[0,t]f(x)dx)²-∫[0,t]f³(x)dx
则h'(t)=2f(t)∫[0,t]f(x)dx-f³(t)
=2f(t)(∫[0,t]f(x)-f²(t)/2)
=2f(t)g(t)≥0,0≤t≤1
∴h(t)≥h(0)=0,0≤t≤1
令t=1,即得(∫[0,1]f(x)dx)²≥∫[0,1]f³(x)dx