对于函数f(x)＝2x+a2x−1，

（1）由题意可得，2^x-1≠0 即x≠0 
∴定义域为{x|x≠0}
（2）由f（x）是奇函数，则对任意x∈{x|x≠0} 
f(−x)＝
2−x+a
2−x−1＝−
a•2x+1
2x−1＝−f(x)＝−
2x+a
2x−1 
化简得（a-1）2^x=a-1∴a=1 
∴a=1时，f（x）是奇函数
（3）当a=1时，f(x)＝
2
2x−1+1的单调递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞） 且x₁＜x₂ 则f(x1)−f(x2)＝
2
2x1−1−
2
2x2−1＝
2(2x2−2x1)
(2x1−1)(2x2−1) 
∵0＜x₁＜x₂ y=2^x 在R上递增∴2x2＞2x1＞1 
∴2x2−2x1＞0，2x1−1＞0，2x2−1＞0 
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x） 在（0，+∞） 上单调递减．同理：f（x） 在（-∞，0）上单调递减．
综上：f(x)＝
2
2x−1+1 在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞） 上单调递减．