微积分计算面积体积求曲线y=x^2,x=y^2所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积

解;
联立方程:
y=x^2
x=y^2
y=y^4
y^4-y=0
y(y^3-1)=0
y1=0,x1=0
y2=1,x2=1
根据积分的知识有
曲线y=x^2,x=y^2所围成的平面图形的面积为:
S=积分(0,1)[根号x-x^2]dx
=[2/3x^(3/2)-x^3/3](0,1)
=1/3
该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为:
抛物线y^2=x绕x轴旋转得到的立体体积减去
抛物线x^2=y绕x轴旋转得到的立体体积之差
抛物线y^2=x绕x轴旋转得到的立体体积为:
V1=pai积分:(0,1)[根号x]^2dx
=pai积分:(0,1)xdx
=paix^2/2|(0,1)
=pai/2
抛物线y=x^2绕x轴旋转得到的立体体积为:
V2=pai积分(0,1)[x^2]^2dx
=paix^5/5|(0,1)
=pai/5
所以所求的体积为:}
V=V1-V2
=pai/2-pai/5
=3pai/10
定义在[a,b]上的函数,
绕x轴旋转得到的体积为;
V=pai积分:(a,b)[f(x)]^2dx