如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AE⊥BM于E并延长交BC于D,求证∠AMB=∠CMD

证明：过点C作CF平行AB与AD的延长线相交于点F
所以角BAC+角ACF=180度
因为角BAC=90度
所以角ACF=90度
因为AB=AC
所以三角形BAC是等腰直角三角形
所以角ACB=45度
AB=AC
所以角FCD=角ACF-角ACB=45度
所以角MCD=角FCD=45度
因为角BAC=角BAE+角FAC=90度
因为AE垂直BM
所以角AEB=90度
因为角AEB+角ABM+角MBA=180度
所以角MBA+角BAE=角BAE+角FAC=90度
所以角MBA=角FAC
因为角BAC=角ACF=90度（已证)
AB=AC
所以三角形MBA和三角形FAC全等（ASA)
所以角AMB=角F
AM=CF
因为M是AC的中点
所以AM=MC
所以MC=CF
因为角MCD=角FCD=45度
CD=CD
所以三角形MCD和三角形FCD全等（SAS)
所以角F=角CMD
所以角AMB=角CMD