看了好久的书才来做这个题,中国古代有一种算法叫做“大衍求一术”,简单点儿解释就是：求一个数N,使得它被A1除余r1,被A2除余r2,被A3除余r3,被A4除余r4…….写成代数式就是：N=A1q1+r1=A2q2+r2=A3q3+r3=A4q4+r4=……那么“大衍求一术”要求我们首先找到一个数M1,它除以A1余1,而同时又被B1=A2×A3×A4整除；再找一个数M2,它除以A2余1,而同时又被B2=A1×A3×A4整除；再找一个数M3,它除以A3余1,而同时又被B3=A1×A2×A4整除；再找一个数M4,它除以A4余1,而同时又被B4=A1×A2×A3整除；如此等等.以上一系列“求一”的过程,相当于解一系列不定方程：BiX+AiY=1,（i=1,2,3,4……）.那么,当A1,A2,A3,A4互质的时候,利用辗转相除法,可以求得上面不定方程的解Xi（i=1,2,3,4……）.于是,若令Mi=BiXi,那么M1r1+M2r2+M3r3+M4r4就是一个被A1除余r1,被A2除余r2,被A3除余r3,被A4除余r4的数,它加上或减去A1×A2×A3×A4依然具有同样性质.
现在利用上述性质做这道题：
先求被11除余1且被13×17×19=4199整除的数.用辗转相除法：4199-11×381=8；11-8=3；8-3×2=2；3-2=1；所以1=3-2=3-（8-3×2）=3×3-8=（11-8）×3-8=11×3-8×4=11×3-（4199-11×381）×4=-4199×4+11×1527,所以求得M1=-4199×4=-16796.用同样方法,还可求得M2=-10659,M3=-16302,M4=-2431.题中r1=5,r2=6,r3=8,r4=9,从而M1r1+M2r2+M3r3+M4r4=-300229,注意到11×13×17×19=46189,所以被11除余5,被13除余6,被17除余8,被19除余9的最小自然数是-300229+46189×7=23094.
如果楼主不明白什么是辗转相除法,自己去找点资料看看吧,很容易理解的.
终于做完了,打了好久字的说,打完收工!
