问题描述：
六年级下数学对期末有好处的练习题,最好多来点工程,
问题解答：
我来补答
给你：很多啊 我都要分几次给你回答
工程问题+行程问题
首先给大家讲下分数工程问题,这种题一般不给出总量.这种题的解法重点是：
1 把总工作量看做单位“1”
2 工作效率*工作时间=工作量
3 变式关系式：工作量÷工作效率=工作时间；工作量÷工作时间=工作效率
4 比如一项工程甲单独做需要6天完成,乙单独做需要10天完成,那么甲的工作效率就是可1/6,乙的为1/10（即1天工作全部工程1/6或1/10）
还是通过例子来学习吧.
例题1
一项工程,甲、乙队合作20天可以完成.共同做了8天后,甲离开了,由乙继续做了18天才完成.如果这项工程单独由甲队或乙队单独完成,各需要几天?
思路导航：设这项工程为单位“1”,
当甲离开后,乙做的工作量为:1-1/20*8=3/5
乙单独做这项工程的时间为
18除以3/5 18÷3/5=30天
甲单独做的时间： 1÷(1/20-1/30)=60天
例题2
师傅和徒弟合做一件工作要15天才能完成.若让师傅先做10天,则剩下的工作,徒弟单独做还需要17天才能完成.徒弟单独做这件工作需要多少天才能完成?
思路导航：由于给出条件是“合做15天完成”,所以,将分开做的转化成为合做10天共做多少：1/15*10；还剩下多少：1-1/15*10=1/3.徒弟单独做几天完成：（17-10）/1/3=21天.
写下解析就是：1-1/15*10=1/3
17-10=7
7÷1/3=21
当然可以解方程,但是比较麻烦:
1/X+1/Y=1/15
10/X+17/Y=1
例题3
一批稿件,甲单独做20分钟打完；乙单独30分钟打完.现在两人合打这批稿件,合做中,甲因有事离开了5分钟,乙休息了若干分钟,这样共用了16分钟打完.乙休息了多少分钟?
思路导航：由于不知16分钟有多少是在合作,也不知道甲、乙各自单独做了几分钟,因此,假设既没有离开也没有休息,16分钟全部在工作,次题就好做了.
甲、 乙合作不休息16分钟能打：（1/20+1/30）*16=4/3
4/3-1=1/3-------表示甲5分钟打的加上乙为休息做的
甲5分钟能打多少? 5*1/20=1/4
乙休息的时间能打多少? 1/3-1/4=1/12
乙休息了多少时间? 1/12÷1/30=5/2
即乙休息了5/2分钟.
例题4
一件工作,甲先做7天,乙接着做14天可以完成；如果由甲先做10天,乙接着做2天也可以完成.现在甲先做了5天后,剩下的全部由乙接着做,还需要多少天完成?
思路导航：一般解法：设甲每天做1/X,乙每天做1/Y
那么可以得到方程：7/X+14/Y=1
10/X+2/Y=1
解法二：等量代换法
甲（10-7）天的工作量=乙（14-2）天的工作量
即：甲1天的工作量=乙4天的工作量
甲（7-5）天的工作量=乙8天的工作量
所以乙还需要8+14=22天
解法很快就能得出答案
例题5
搬运一个仓库的货物,甲需9小时,乙需12个小时,并需18个小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物.丙开始帮忙甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后三人同时搬完.问：丙帮了甲、乙各多少时间?
思路导航：设一个仓库的总货物为“1”,尽管丙在AB两仓库搬运的时间难以确定,但是我们要“变种找不变”,什么不变?因为他们三人同时搬完,那就是他们三个搬运的时间.
2÷(1/9+1/12+1/18)=8小时
丙帮助甲搬的时间为（1-1/9*8）÷1/18=2
所以帮助乙的就是8-2=6小时
第二部分：行程问题
例题1
甲、 乙两车同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地50千米处相遇,相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次相遇在离B地26千米处.A、B两地相距多少千米?
思路导航：由条件“第一次在离A地50千米处相遇”可知,甲在第一个相遇时间内行了50千米.从而开始A、B两地同时相对开出,到第二次相遇,甲、乙两车一共走了3个全程.也即是经过了3个相遇时间,即甲行了3个相遇时间才到第二次相遇地点.
所以A-B相距
50*3-26=124
公式 s= 3a-b
a是A走的距离即
b是剩下的那个距离
例题2
小李从A地上山,越过山顶B后下山到C地,共行了18千米,用了5小时.又知他上山每小时3千米,下山每小时5千米.小李从C地经过原路上山,越过山顶B返回A地要多少时间?
此题可以用“鸡兔同笼”的解法
设全为下坡：5*5=25
与实际相差：25-18=7
则去时上坡时间：7÷（5-3）=3.5小时
下坡时间为：5-3.5=1.5小时
所以AB和BC的距离就能算出来了
剩下的问题就好解了
例题3
甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍.甲到山顶时乙距离山顶还有500米,甲回到山脚时乙刚好下到半山腰.求从山脚到山顶的距离
思路导航：假设甲到达山顶后继续上山,还可以上行1/2,同时,乙还可以上行1/4
这时路程差为;500*(1+1/2)=750
750÷（1/2-1/4）=3000
下面写下常规解法：
S/V甲=(S-500)/V乙
S/2V甲=1/2S/2V乙+500/V乙
例题4（老题,但是非常经典）
甲班和乙班学生同时从学校出发去某个公园,甲班不行的速度是每小时4千米,乙班的速度是每小时3千米.学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生.为了使两班学生在最短的时间内达到,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离比是多少?
估计很多人都记得答案了15：11
下面解下…
最短时间到达,只需要甲乘坐汽车与乙走路同时到达某公园
设,乙先坐车,甲走路,当汽车把乙班送到C点,乙班学生下车走路,汽车返回在B点处接甲班的学生,根据时间一定,路程的比就等于速度的比：
简单化下图
A……………B……………………C…………..D
其实就是比例解法：
AB(AC+BC)=4;48=1:12
AB:2BC=1:11------------------①
在C点乙班下车走路,汽车返回接甲,然后汽车与乙班同时到达某公园
(BC+BD):CD=48:3=16:1
2BC:CD=15:1------------------②
将①、②做比
AB:CD=15:11
轨迹追踪法解行程问题（原创）
所谓轨迹追踪法就是画图抓住运动轨迹与S的关系而解出答案的一种办法.
用例题来说明这个问题
例题1：甲乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,当他们第一次相遇时甲离B地相距l04米,然后两人继续向前走,当达到目的地后都立即返回,当第二次相遇时,乙离B地相距40米.问AB两地相距多少米?
A.176米 B.144米 C.168米 D.186米
卡卡西解析：
此题为最基础的多次相遇问题：抓住相遇时间是解题的关键.
这个必须会：第一次相遇走了一个相遇时间t,第二次相遇走了3个相遇时间3t.
轨迹追踪法：
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
由题中“第一次相遇时甲离B地相距l04米”,即一个相遇时间t内乙走了104里
追踪乙的轨迹：BC------CA----AD
我们发现,第二次相遇的时候乙比2个全程S少走了BD段,而BD段恰好是40米.根据第二次相遇走了3个相遇时间可以知道,乙走了104*3
所以104*3+40=2S S=176
估计有部分新Q友会问：“为什么第二次相遇走了3个相遇时间?为什么不是2个相遇时间?”.下面我来推导下这个问题
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
第一次甲走的：AC 乙走的是BC 甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.
第二次相遇时,甲走了AC+CB+BD------------------①
乙走了BC+CA+AD------------------②
①+②=3S （甲乙共走了3S）
甲乙第一次相遇共走了1S,1t
甲乙第二次相遇共走了3S,因为速度不变,所以走的时间为3t
推广下成公式：第N次相遇,甲乙共走了(2N-1)个S,花了(2N-1)个相遇时间t.
例题2：两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出,离北岸260千米处第一次相遇,继续行驶,返回时又在南岸200千米处相遇,求河宽.
卡卡西解析：
画图：南------------------------C--------------D--------------------北
同样C表示第一次相遇,D表示第二次相遇.
根据：“离北岸260千米处第一次相遇”,所以追踪乙的轨迹为
北C+C南+南D,观察发现比1S多走了南D段
所以：3*260-200=S
练习题：甲乙两车同时从A.B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,他们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇.A.B两地相距多少千米?
追击问题的两点重要思路
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
讲解几个例题：
1、
某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?
------------------------------------------------------
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
画个简单的图帮助大家理解
后面追上：------------------A----------->------------------------B------>---------（速度差）
迎面而来：------------------A------------>------------------ 2V电=1/12+1/4=1/3（问题是算发车间隔,所以我们要计算车的速度）
V电=1/6
根据时间=路程÷速度
间隔 =1 ÷1/6
T=6
PS：做熟悉了直接就是1/[(1/12+1/4)/2]=6
2、
一条街上,一个骑车人和一个步行人同向而行,骑车人的速度是步行人的3倍,每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人.每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车?
A 10 B 8 C 6 D 4
-------------------------------------------------------------------
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
所以有下面的方程：
(1) (V汽－V步)=1/10
(2) (V汽－3V步)=1/20
算出V汽=1/8
T=1/(1/8)=8
时针问题的解法.
时针问题的关键点有两个
1 分针每分走6°；时针每分走0.5°（或者是分针每分走1格,时针每分走1/12格）
2 分针每分比时针多走5.5°（或者11/12格）；把时针的追击问题当成是度数的追击问题.
例题1
在14点16分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是( )度.
----------------------------------------
解析：这个题可以看成一个追击问题：14点时,分针和时针之间有一段距离,再求16分钟后分针与时针之间的距离.
14点整时,分针与时针成60°
再过16分钟,分针在16分钟内比时针多走：16*5.5=88
88-60=28°
例题2
4点多,当分针和时针重合的时候,应该是4点（ ）分?
A 21*9/11 B 21*8/11 C 21*7/11 D 21*6/11
----------------------------------------
解析：4点,分钟与时针成120度角,每分钟分针追及时针6-0.5=5.5度
想当与总路程是120 速度差是5.5
所以时间就是120÷5.5=21又9/11
例题3
现在是2点15分,再过（）分钟,时针和分针第一次重和
A 60/11 B.14/11 C.264/11 D.675/11
---------------------------------------------
参考答案：2点15分时分钟与时针已在1点与2点之间重合,故下次重合应在3点以后,于3点过90/5.5=180/11分重合,所以再过45+180/11=671/11.也可这样：可以看成是2点开始,时针分针第二次重合的时间,然后减去15分钟,2点整分针时针角度差60度.到第二次重合,追击路程为360+60=420度,角速度差为5.5度/分,420/5.5-15=840/11-165/11=675/11.也可直算：（2*30+360）/5.5-15=675/11分钟
个人解法：2点15分,时针和分针之间的度数是90-（60+15*0.5）=22.5度
但是时针追击的路程是360-22.5=337.5度（因为是顺时针追击）
337.5/5.5=675/11
走楼梯
1.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走2个梯级,女孩每2秒钟向上走3个梯级.结果男孩用40秒钟到达,女孩用50秒钟到达.则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有（）
比例法真是无所不在,这种类型的题也可以用比例法来做,设定三者速度之比,男孩：女孩：电梯=2：1.5：x
当人从底到顶的时候,自己本身走,加上电梯往上走,一共就是电梯裸露在外面的阶梯数
男孩用40秒,女孩用50秒
所以就是
40*2+40*x=50*1.5+50*x 解得x=0.5 那么所有阶梯 40*2+40*x=80+40*0.5=80+20=100
2.自动扶梯以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走,男孩的速度是女孩的2倍,已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部,问扶梯露在外面的部分有多少级?
这道同样道理,设定速度是2：1：x
27/2*x+27=18/1*x+18 解得x=2,所以一共有54级
多次相遇的关键就是速度比和路程的倍数关系
第一次相遇,两人共走了1S
第二次相遇,两人共走了3S
第三次相遇,两人共走了5S
.
第N次相遇,两人共走了2*N-1个S,经过了2*N-1个相遇时间
“为什么第二次相遇走了3个相遇时间?为什么不是2个相遇时间?”.下面我来推导下这个问题
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
第一次甲走的：AC 乙走的是BC 甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.
第二次相遇时,甲走了AC+CB+BD------------------①
乙走了BC+CA+AD------------------②
①+②=3S （甲乙共走了3S）
甲乙第一次相遇共走了1S,1t
甲乙第二次相遇共走了3S,因为速度不变,所以走的时间为3t
推广下成公式：第N次相遇,甲乙共走了(2N-1)个S,花了(2N-1)个相遇时间t.
甲乙两车分别从A、B两地出发,并在A、B两地间不间断往返行驶,已知甲车的速度是15千米/小时,乙车的速度是每小时35千米,甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米,求A、B两地的距离
A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米
-------------------------------------------------
画个草图
A------------------------C--------D---------------------B
C表示第三次相遇的地方,D表示第四次相遇的地方.
速度比是15：35=3：7
全程分成10份
第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份（相当于1.5S）
第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份
两次相距5-1=4份,对应100KM
所以10份对应的就是250KM
给你说下21份和15份
A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B
← C
D→
D和C分别表示第三次相遇和第四次相遇
箭头表示方向
1个简单的练习题供大家巩固：
甲乙两车同时从A.B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,他们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇.A.B两地相距多少千米?
历年全国各地真题讨论之行程问题总结（上）
1、甲乙同时从A 地步行出发往B 地,甲60 米/分钟,乙90 米/分钟,乙到达B 地折返
与甲相遇时,甲还需再走3 分钟才到达B 地,求AB 两地距离?
A.1350 B.1080 C.900 D.750
-----------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
画个草图（M点表示他们相遇的地点）
A--------------------------M---------B
根据比例法,时间一定,路程比等于速度比
所以AM:AM+2MB=60:90=2:3
AM：MB=4：1
MB=3*60=180
所以全程就是180*（4+1）=900
2、甲早上从某地出发匀速前进,一段时间后,乙从同个地点出发以同样的速度同向前进,在上午10点时,乙走了6千米,他们继续前进,在乙走到甲在上午10时到达的位置时,甲共走了16.8千米,问：此时乙走了多少千米?
A.11.4 B.14.4 C.10.8 D.5.4
---------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题看似复杂,但是只要认真画图就能很轻易的做出来.
画出10点的时候他们的位置图
A---------------------B-----------C----------D------
可以知道AB=6 BC=X CD=X
所以6+2X=16.8
X=5.4
5.4+6=11.4
3、甲、乙、丙三人,甲每分钟走 50 米,乙每分钟走 40 米,丙每分钟走 35 米,甲、乙从 A 地,丙从 B 地同时出发,相向而行,丙遇到甲 2 分钟后遇到乙,那么,A. B 两地相距多少 米?
A. 250 米 B.500 米 C. 750 米 D. 1275 米
------------------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
当甲遇到丙时,乙和丙的距离是2*（40+35）=150
甲每分钟比乙多走10米,所以相遇的时候甲走了150/10=15分钟,
总的路程S=（V甲+V丙）*15
所以全长是（50+35）*15=1275
此题也可以秒杀（50+35=85）85的倍数
4、A、.B 两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站,甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程．乙火车上午8 时整B 站开往A站,开出一段时问后,甲火车从 A 站出发开往 B 站,上午 9时整两列火车相遇．相遇地点离A、.B两站的距离比是15：16．那么．甲火车在（ ） 从 A 站出发开往 B 站．
A ．8时12 分 B .8时15 分 C . 8 时 24 分 D . 8 时 30 分
---------------------------------------------------------
卡卡西解析：
甲乙速度比5：4,路程比是15：16,所以时间比是3：4
3：4=X：1
X=0.75*60=45
既甲从8时15分开始出发
简单的说两句：路程、速度时间的关系也适用于比例算法中
如：路程/速度=时间
路程比/速度比=时间比
5、AB两地以一条公路相连.甲车从A地,乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出.两车相遇后分别掉头,并以对方的速率行进.甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动.最后甲、乙两车同时到达B地.如果最开始时甲车的速率为X米/秒,则最开始时乙车的速率为（）.
A. 4X米/秒 B. 2X米/秒 C. 0.5X米/秒 D. 无法判断
-----------------------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题看似比较复杂,但是只要我们仔细分析就能得出：
相同时间内用甲的速度走了一个AB的距离,用乙的速度走了2个AB的距离,
时间一定,路程比等于速度比
所以V甲：V乙=1：2
V乙=2X
6、一个人乘车去旅行,车走了1/3 路程他就睡着了,当他醒来时车还需继续行
驶他睡着时的1/3 的距离,则他睡着时车行驶了全程的几分之几?（）
A．3/8 B．3/7 C．1/2 D．3/5
-----------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题实在没啥好说的,
1/3+X+1/3 *X=1
X=1/2
7、一列长为280 米的火车,速度为20 米/秒,经过2800 米的大桥,火车完全通过这座大桥,需要多少时间?（ ）
A．48 B．2 分20 秒 C．2 分28 秒 D．2 分34 秒
----------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题简单,属于秒秒钟搞定的范围
从开始上桥到完全下桥的时间=（桥长+车长）/车速；
（2800+280）/20=154s=2分34秒
8、在同一环形跑道上小陈比小王跑的慢,两人都按同一方向跑步锻炼时,每隔
12 分钟相遇一次；若两人速度不变,其中一人按相反方向跑步,则每隔4分钟相遇一次.问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王多几分钟?（）
A．5 B．6 C．7 D．8
-----------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题也没啥好说的
设总路程为1,小陈速度Y,小王速度X,则：
4X+4Y=1
12X-12Y=1,求出X=1/6,Y=1/12,所以多了12-6=6分钟.
9．一只船沿河顺水而行的航速为 30 千米/小时,已知按同样的航速在该河上顺水航行 3 小 时和逆水航行 5 小时的航程相等,则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为；
A, 1 千米 B, 2 千米 C, 3 千米 D, 6 千米
-------------------------------------------------
卡卡西解析：
水速=（顺速-逆速）/2,
（30-18）/2=6,
因此漂流半小时就是6*1/2=3千米
10、甲从某地出发均速前进,一段时间后,乙从同一地点以同样的速度同向前进,在 K 时刻乙距起点 3 0 米；他们继续前进,当乙走到甲在 K 时刻的位置时,甲离起点 108 米.问： 此时乙离起点多少米?
A．39 米 B．69 米 C．78 米 D．138 米
-------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题和第二个题目类似
2X+30=108
X=39
39+30=69
“甲乙两班同学到XX地,只有一辆车,甲先坐车.”今天特地总结了类似的5个题目奉献给大家,希望大家好好的学习下!都是些比较经典的题目!
首先说说我的解法“三段图法”
我一般都是根据速度比,用比例法算出三段距离的比
A……………B……………………C…………..D
即先坐车的人在C点下车,然后步行到终点D
车回头再B点接先步行的人.
只要算出三段的比例,此类题就迎刃而解了
工程问题+行程问题
首先给大家讲下分数工程问题,这种题一般不给出总量.这种题的解法重点是：
1 把总工作量看做单位“1”
2 工作效率*工作时间=工作量
3 变式关系式：工作量÷工作效率=工作时间；工作量÷工作时间=工作效率
4 比如一项工程甲单独做需要6天完成,乙单独做需要10天完成,那么甲的工作效率就是可1/6,乙的为1/10（即1天工作全部工程1/6或1/10）
还是通过例子来学习吧.
例题1
一项工程,甲、乙队合作20天可以完成.共同做了8天后,甲离开了,由乙继续做了18天才完成.如果这项工程单独由甲队或乙队单独完成,各需要几天?
思路导航：设这项工程为单位“1”,
当甲离开后,乙做的工作量为:1-1/20*8=3/5
乙单独做这项工程的时间为
18除以3/5 18÷3/5=30天
甲单独做的时间： 1÷(1/20-1/30)=60天
例题2
师傅和徒弟合做一件工作要15天才能完成.若让师傅先做10天,则剩下的工作,徒弟单独做还需要17天才能完成.徒弟单独做这件工作需要多少天才能完成?
思路导航：由于给出条件是“合做15天完成”,所以,将分开做的转化成为合做10天共做多少：1/15*10；还剩下多少：1-1/15*10=1/3.徒弟单独做几天完成：（17-10）/1/3=21天.
写下解析就是：1-1/15*10=1/3
17-10=7
7÷1/3=21
当然可以解方程,但是比较麻烦:
1/X+1/Y=1/15
10/X+17/Y=1
例题3
一批稿件,甲单独做20分钟打完；乙单独30分钟打完.现在两人合打这批稿件,合做中,甲因有事离开了5分钟,乙休息了若干分钟,这样共用了16分钟打完.乙休息了多少分钟?
思路导航：由于不知16分钟有多少是在合作,也不知道甲、乙各自单独做了几分钟,因此,假设既没有离开也没有休息,16分钟全部在工作,次题就好做了.
甲、 乙合作不休息16分钟能打：（1/20+1/30）*16=4/3
4/3-1=1/3-------表示甲5分钟打的加上乙为休息做的
甲5分钟能打多少? 5*1/20=1/4
乙休息的时间能打多少? 1/3-1/4=1/12
乙休息了多少时间? 1/12÷1/30=5/2
即乙休息了5/2分钟.
例题4
一件工作,甲先做7天,乙接着做14天可以完成；如果由甲先做10天,乙接着做2天也可以完成.现在甲先做了5天后,剩下的全部由乙接着做,还需要多少天完成?
思路导航：一般解法：设甲每天做1/X,乙每天做1/Y
那么可以得到方程：7/X+14/Y=1
10/X+2/Y=1
解法二：等量代换法
甲（10-7）天的工作量=乙（14-2）天的工作量
即：甲1天的工作量=乙4天的工作量
甲（7-5）天的工作量=乙8天的工作量
所以乙还需要8+14=22天
解法很快就能得出答案
例题5
搬运一个仓库的货物,甲需9小时,乙需12个小时,并需18个小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物.丙开始帮忙甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后三人同时搬完.问：丙帮了甲、乙各多少时间?
思路导航：设一个仓库的总货物为“1”,尽管丙在AB两仓库搬运的时间难以确定,但是我们要“变种找不变”,什么不变?因为他们三人同时搬完,那就是他们三个搬运的时间.
2÷(1/9+1/12+1/18)=8小时
丙帮助甲搬的时间为（1-1/9*8）÷1/18=2
所以帮助乙的就是8-2=6小时
第二部分：行程问题
例题1
甲、 乙两车同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地50千米处相遇,相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次相遇在离B地26千米处.A、B两地相距多少千米?
思路导航：由条件“第一次在离A地50千米处相遇”可知,甲在第一个相遇时间内行了50千米.从而开始A、B两地同时相对开出,到第二次相遇,甲、乙两车一共走了3个全程.也即是经过了3个相遇时间,即甲行了3个相遇时间才到第二次相遇地点.
所以A-B相距
50*3-26=124
公式 s= 3a-b
a是A走的距离即
b是剩下的那个距离
例题2
小李从A地上山,越过山顶B后下山到C地,共行了18千米,用了5小时.又知他上山每小时3千米,下山每小时5千米.小李从C地经过原路上山,越过山顶B返回A地要多少时间?
此题可以用“鸡兔同笼”的解法
设全为下坡：5*5=25
与实际相差：25-18=7
则去时上坡时间：7÷（5-3）=3.5小时
下坡时间为：5-3.5=1.5小时
所以AB和BC的距离就能算出来了
剩下的问题就好解了
例题3
甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍.甲到山顶时乙距离山顶还有500米,甲回到山脚时乙刚好下到半山腰.求从山脚到山顶的距离
思路导航：假设甲到达山顶后继续上山,还可以上行1/2,同时,乙还可以上行1/4
这时路程差为;500*(1+1/2)=750
750÷（1/2-1/4）=3000
下面写下常规解法：
S/V甲=(S-500)/V乙
S/2V甲=1/2S/2V乙+500/V乙
例题4（老题,但是非常经典）
甲班和乙班学生同时从学校出发去某个公园,甲班不行的速度是每小时4千米,乙班的速度是每小时3千米.学校有一辆汽车,它的速度是每小时48千米,这辆汽车恰好能坐一个班的学生.为了使两班学生在最短的时间内达到,那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离比是多少?
估计很多人都记得答案了15：11
下面解下…
最短时间到达,只需要甲乘坐汽车与乙走路同时到达某公园
设,乙先坐车,甲走路,当汽车把乙班送到C点,乙班学生下车走路,汽车返回在B点处接甲班的学生,根据时间一定,路程的比就等于速度的比：
简单化下图
A……………B……………………C…………..D
其实就是比例解法：
AB(AC+BC)=4;48=1:12
AB:2BC=1:11------------------①
在C点乙班下车走路,汽车返回接甲,然后汽车与乙班同时到达某公园
(BC+BD):CD=48:3=16:1
2BC:CD=15:1------------------②
将①、②做比
AB:CD=15:11
轨迹追踪法解行程问题（原创）
所谓轨迹追踪法就是画图抓住运动轨迹与S的关系而解出答案的一种办法.
用例题来说明这个问题
例题1：甲乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,当他们第一次相遇时甲离B地相距l04米,然后两人继续向前走,当达到目的地后都立即返回,当第二次相遇时,乙离B地相距40米.问AB两地相距多少米?
A.176米 B.144米 C.168米 D.186米
卡卡西解析：
此题为最基础的多次相遇问题：抓住相遇时间是解题的关键.
这个必须会：第一次相遇走了一个相遇时间t,第二次相遇走了3个相遇时间3t.
轨迹追踪法：
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
由题中“第一次相遇时甲离B地相距l04米”,即一个相遇时间t内乙走了104里
追踪乙的轨迹：BC------CA----AD
我们发现,第二次相遇的时候乙比2个全程S少走了BD段,而BD段恰好是40米.根据第二次相遇走了3个相遇时间可以知道,乙走了104*3
所以104*3+40=2S S=176
估计有部分新Q友会问：“为什么第二次相遇走了3个相遇时间?为什么不是2个相遇时间?”.下面我来推导下这个问题
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
第一次甲走的：AC 乙走的是BC 甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.
第二次相遇时,甲走了AC+CB+BD------------------①
乙走了BC+CA+AD------------------②
①+②=3S （甲乙共走了3S）
甲乙第一次相遇共走了1S,1t
甲乙第二次相遇共走了3S,因为速度不变,所以走的时间为3t
推广下成公式：第N次相遇,甲乙共走了(2N-1)个S,花了(2N-1)个相遇时间t.
例题2：两艘轮船甲、乙分别从南北两岸相向开出,离北岸260千米处第一次相遇,继续行驶,返回时又在南岸200千米处相遇,求河宽.
卡卡西解析：
画图：南------------------------C--------------D--------------------北
同样C表示第一次相遇,D表示第二次相遇.
根据：“离北岸260千米处第一次相遇”,所以追踪乙的轨迹为
北C+C南+南D,观察发现比1S多走了南D段
所以：3*260-200=S
练习题：甲乙两车同时从A.B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,他们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇.A.B两地相距多少千米?
追击问题的两点重要思路
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
讲解几个例题：
1、
某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面而来.2个起点站的发车间隔相同,那么这个间隔是多少?
------------------------------------------------------
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
画个简单的图帮助大家理解
后面追上：------------------A----------->------------------------B------>---------（速度差）
迎面而来：------------------A------------>------------------ 2V电=1/12+1/4=1/3（问题是算发车间隔,所以我们要计算车的速度）
V电=1/6
根据时间=路程÷速度
间隔 =1 ÷1/6
T=6
PS：做熟悉了直接就是1/[(1/12+1/4)/2]=6
2、
一条街上,一个骑车人和一个步行人同向而行,骑车人的速度是步行人的3倍,每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人.每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人,如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车,那么间隔几分钟发一辆公交车?
A 10 B 8 C 6 D 4
-------------------------------------------------------------------
1、设间隔距离看作单位1
2、路程差＝速度差×时间
所以有下面的方程：
(1) (V汽－V步)=1/10
(2) (V汽－3V步)=1/20
算出V汽=1/8
T=1/(1/8)=8
时针问题的解法.
时针问题的关键点有两个
1 分针每分走6°；时针每分走0.5°（或者是分针每分走1格,时针每分走1/12格）
2 分针每分比时针多走5.5°（或者11/12格）；把时针的追击问题当成是度数的追击问题.
例题1
在14点16分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是( )度.
----------------------------------------
解析：这个题可以看成一个追击问题：14点时,分针和时针之间有一段距离,再求16分钟后分针与时针之间的距离.
14点整时,分针与时针成60°
再过16分钟,分针在16分钟内比时针多走：16*5.5=88
88-60=28°
例题2
4点多,当分针和时针重合的时候,应该是4点（ ）分?
A 21*9/11 B 21*8/11 C 21*7/11 D 21*6/11
----------------------------------------
解析：4点,分钟与时针成120度角,每分钟分针追及时针6-0.5=5.5度
想当与总路程是120 速度差是5.5
所以时间就是120÷5.5=21又9/11
例题3
现在是2点15分,再过（）分钟,时针和分针第一次重和
A 60/11 B.14/11 C.264/11 D.675/11
---------------------------------------------
参考答案：2点15分时分钟与时针已在1点与2点之间重合,故下次重合应在3点以后,于3点过90/5.5=180/11分重合,所以再过45+180/11=671/11.也可这样：可以看成是2点开始,时针分针第二次重合的时间,然后减去15分钟,2点整分针时针角度差60度.到第二次重合,追击路程为360+60=420度,角速度差为5.5度/分,420/5.5-15=840/11-165/11=675/11.也可直算：（2*30+360）/5.5-15=675/11分钟
个人解法：2点15分,时针和分针之间的度数是90-（60+15*0.5）=22.5度
但是时针追击的路程是360-22.5=337.5度（因为是顺时针追击）
337.5/5.5=675/11
走楼梯
1.商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走2个梯级,女孩每2秒钟向上走3个梯级.结果男孩用40秒钟到达,女孩用50秒钟到达.则当该扶梯静止时,可看到的扶梯梯级有（）
比例法真是无所不在,这种类型的题也可以用比例法来做,设定三者速度之比,男孩：女孩：电梯=2：1.5：x
当人从底到顶的时候,自己本身走,加上电梯往上走,一共就是电梯裸露在外面的阶梯数
男孩用40秒,女孩用50秒
所以就是
40*2+40*x=50*1.5+50*x 解得x=0.5 那么所有阶梯 40*2+40*x=80+40*0.5=80+20=100
2.自动扶梯以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走,男孩的速度是女孩的2倍,已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部,问扶梯露在外面的部分有多少级?
这道同样道理,设定速度是2：1：x
27/2*x+27=18/1*x+18 解得x=2,所以一共有54级
多次相遇的关键就是速度比和路程的倍数关系
第一次相遇,两人共走了1S
第二次相遇,两人共走了3S
第三次相遇,两人共走了5S
.
第N次相遇,两人共走了2*N-1个S,经过了2*N-1个相遇时间
“为什么第二次相遇走了3个相遇时间?为什么不是2个相遇时间?”.下面我来推导下这个问题
A------------------------C----------D-------------------B
设C为第一次相遇的地点,D为第二次相遇的地点
第一次甲走的：AC 乙走的是BC 甲乙第一次相遇1个相遇时间t内共走了1S.
第二次相遇时,甲走了AC+CB+BD------------------①
乙走了BC+CA+AD------------------②
①+②=3S （甲乙共走了3S）
甲乙第一次相遇共走了1S,1t
甲乙第二次相遇共走了3S,因为速度不变,所以走的时间为3t
推广下成公式：第N次相遇,甲乙共走了(2N-1)个S,花了(2N-1)个相遇时间t.
甲乙两车分别从A、B两地出发,并在A、B两地间不间断往返行驶,已知甲车的速度是15千米/小时,乙车的速度是每小时35千米,甲乙两车第三车相遇地点与第四次相遇地点差100千米,求A、B两地的距离
A、200千米 B、250千米 C、300千米 D、350千米
-------------------------------------------------
画个草图
A------------------------C--------D---------------------B
C表示第三次相遇的地方,D表示第四次相遇的地方.
速度比是15：35=3：7
全程分成10份
第三次甲行的路程是：3*（2*2+1）=15份（相当于1.5S）
第四次甲行的路程是：3*（2*3+1）=21份
两次相距5-1=4份,对应100KM
所以10份对应的就是250KM
给你说下21份和15份
A-----O----O-----O----O----O----O----O---O----O---B
← C
D→
D和C分别表示第三次相遇和第四次相遇
箭头表示方向
1个简单的练习题供大家巩固：
甲乙两车同时从A.B两地相向而行,在距B地54千米处相遇,他们各自到达对方车站后立即返回,在距A地42千米处相遇.A.B两地相距多少千米?
历年全国各地真题讨论之行程问题总结（上）
1、甲乙同时从A 地步行出发往B 地,甲60 米/分钟,乙90 米/分钟,乙到达B 地折返
与甲相遇时,甲还需再走3 分钟才到达B 地,求AB 两地距离?
A.1350 B.1080 C.900 D.750
-----------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
画个草图（M点表示他们相遇的地点）
A--------------------------M---------B
根据比例法,时间一定,路程比等于速度比
所以AM:AM+2MB=60:90=2:3
AM：MB=4：1
MB=3*60=180
所以全程就是180*（4+1）=900
2、甲早上从某地出发匀速前进,一段时间后,乙从同个地点出发以同样的速度同向前进,在上午10点时,乙走了6千米,他们继续前进,在乙走到甲在上午10时到达的位置时,甲共走了16.8千米,问：此时乙走了多少千米?
A.11.4 B.14.4 C.10.8 D.5.4
---------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题看似复杂,但是只要认真画图就能很轻易的做出来.
画出10点的时候他们的位置图
A---------------------B-----------C----------D------
可以知道AB=6 BC=X CD=X
所以6+2X=16.8
X=5.4
5.4+6=11.4
3、甲、乙、丙三人,甲每分钟走 50 米,乙每分钟走 40 米,丙每分钟走 35 米,甲、乙从 A 地,丙从 B 地同时出发,相向而行,丙遇到甲 2 分钟后遇到乙,那么,A. B 两地相距多少 米?
A. 250 米 B.500 米 C. 750 米 D. 1275 米
------------------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
当甲遇到丙时,乙和丙的距离是2*（40+35）=150
甲每分钟比乙多走10米,所以相遇的时候甲走了150/10=15分钟,
总的路程S=（V甲+V丙）*15
所以全长是（50+35）*15=1275
此题也可以秒杀（50+35=85）85的倍数
4、A、.B 两站之间有一条铁路,甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站,甲火车 4 分钟走的路程等于乙火车 5 分钟走的路程．乙火车上午8 时整B 站开往A站,开出一段时问后,甲火车从 A 站出发开往 B 站,上午 9时整两列火车相遇．相遇地点离A、.B两站的距离比是15：16．那么．甲火车在（ ） 从 A 站出发开往 B 站．
A ．8时12 分 B .8时15 分 C . 8 时 24 分 D . 8 时 30 分
---------------------------------------------------------
卡卡西解析：
甲乙速度比5：4,路程比是15：16,所以时间比是3：4
3：4=X：1
X=0.75*60=45
既甲从8时15分开始出发
简单的说两句：路程、速度时间的关系也适用于比例算法中
如：路程/速度=时间
路程比/速度比=时间比
5、AB两地以一条公路相连.甲车从A地,乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出.两车相遇后分别掉头,并以对方的速率行进.甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动.最后甲、乙两车同时到达B地.如果最开始时甲车的速率为X米/秒,则最开始时乙车的速率为（）.
A. 4X米/秒 B. 2X米/秒 C. 0.5X米/秒 D. 无法判断
-----------------------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题看似比较复杂,但是只要我们仔细分析就能得出：
相同时间内用甲的速度走了一个AB的距离,用乙的速度走了2个AB的距离,
时间一定,路程比等于速度比
所以V甲：V乙=1：2
V乙=2X
6、一个人乘车去旅行,车走了1/3 路程他就睡着了,当他醒来时车还需继续行
驶他睡着时的1/3 的距离,则他睡着时车行驶了全程的几分之几?（）
A．3/8 B．3/7 C．1/2 D．3/5
-----------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题实在没啥好说的,
1/3+X+1/3 *X=1
X=1/2
7、一列长为280 米的火车,速度为20 米/秒,经过2800 米的大桥,火车完全通过这座大桥,需要多少时间?（ ）
A．48 B．2 分20 秒 C．2 分28 秒 D．2 分34 秒
----------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题简单,属于秒秒钟搞定的范围
从开始上桥到完全下桥的时间=（桥长+车长）/车速；
（2800+280）/20=154s=2分34秒
8、在同一环形跑道上小陈比小王跑的慢,两人都按同一方向跑步锻炼时,每隔
12 分钟相遇一次；若两人速度不变,其中一人按相反方向跑步,则每隔4分钟相遇一次.问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王多几分钟?（）
A．5 B．6 C．7 D．8
-----------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题也没啥好说的
设总路程为1,小陈速度Y,小王速度X,则：
4X+4Y=1
12X-12Y=1,求出X=1/6,Y=1/12,所以多了12-6=6分钟.
9．一只船沿河顺水而行的航速为 30 千米/小时,已知按同样的航速在该河上顺水航行 3 小 时和逆水航行 5 小时的航程相等,则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为；
A, 1 千米 B, 2 千米 C, 3 千米 D, 6 千米
-------------------------------------------------
卡卡西解析：
水速=（顺速-逆速）/2,
（30-18）/2=6,
因此漂流半小时就是6*1/2=3千米
10、甲从某地出发均速前进,一段时间后,乙从同一地点以同样的速度同向前进,在 K 时刻乙距起点 3 0 米；他们继续前进,当乙走到甲在 K 时刻的位置时,甲离起点 108 米.问： 此时乙离起点多少米?
A．39 米 B．69 米 C．78 米 D．138 米
-------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此题和第二个题目类似
2X+30=108
X=39
39+30=69
“甲乙两班同学到XX地,只有一辆车,甲先坐车.”今天特地总结了类似的5个题目奉献给大家,希望大家好好的学习下!都是些比较经典的题目!
首先说说我的解法“三段图法”
我一般都是根据速度比,用比例法算出三段距离的比
A……………B……………………C…………..D
即先坐车的人在C点下车,然后步行到终点D
车回头再B点接先步行的人.
只要算出三段的比例,此类题就迎刃而解了
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