f(x)在(-∞,+∞)内有三阶导数,x→∞时,limf(x),limf'(x),limf"(x)存在,且,limf"'

假设limf'(x)=A≠0,不妨设A>0
由保号性得,对于存在x0>0使得x>x0时f'(x)>A/2
f(x)>f(x0)+(A/2)(x-x0)>M
则x>|M-f(x0)|/(A/2)
所以x >max{|M-f(x0)|/(A/2),x0}时f(x)>M,f(x)无界,与limf(x)存在矛盾
所以limf'(x)=0
同理limf''(x)=0