Come on 会那题就做那题
1、如图一,AB为圆O的直径,PQ切圆O与T,AC⊥PQ于C,交圆O于D
【问：若AD=2,TC=根号3,求圆O的半径.】
3、如图三,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB为圆O的直径
（1）若AD=2,AB=BC=8,连接OC、OD
①求△COD的面积
②试判断直线CD与圆O的位置关系,说明理由
（2）若直线CD与圆O相切于F,AD=x（x＞0）,AB=8
试用x表示四边形ABCD的面积S,并探索S是否存在最小值,写出探索过程.
1、
连接BT
根据切割线定理有：TC²=CD·CA
(没学过的话连,接DT,有△CDT∽△CTA(有一个直角相等,一个弦切角相等),就可以得到上式.)
又∵CA=(CD+AD)
∴TC²=CD·(CD+AD)
即3=CD(CD+2)
解得CD=1
AC=3
根据勾股定理有AT=2√3
∵AB是直径
∴∠BTA=90°
∴∠BTP+∠ATC=90°
又∠CAT+∠ATC=90°
∴∠BTP=∠CAT
又∠BTP=∠BAT (弦切角)
∴∠CAT=∠BAT
且∠BTA=∠ACT=90°
∴△ATB∽△ACT
∴AB/AT=AT/AC
即AT²=AB·AC
即12=AB×3
∴AB=4
∴r=2
3、
(1)∵AD=2,OA=OB=AB/2=4,BC=8
∴根据勾股定理有OD=2√5,OC=4√5
∵AD/OA=OB/BC=1/2,∠A=∠B=90°
∴RT△OAD∽RT△CBO
∴∠BOC=∠ADO
又∠AOD+∠ADO=90°
∴∠AOD+∠BOC=90°,即：∠DOC=90°
∴S△DOC=(1/2)·DO·OC=(1/2)×2√5×4√5=20
(2)
延长DO交CB延长线于E
∵DA、CB、CD都是切线
∴AD=DF,CB=CF
又OA=OF=OB,OD、OC分别是公共边
∴△AOD≌△FOD,△COB≌△COF…………①
又OA=OB,∠A=∠OBE=90°,∠ADE=∠BED
∴△AOD≌△BOE…………②
由①②得：△AOD≌△FOD≌△BOE
∴∠ODF=∠OEB,OD=OE
∴CE=CD (等角对等边)
∴OC⊥DE (三线合一)
在RT△AOD中有OD²=AO²+AD²=16+x²
在RT△BOC中有OC²=BO²+BC²=16+BC²
在RT△DOC中有DC²=OD²+OC²=16+x² + 16 +BC²
又DC=DF+CF=AD+BC=x+BC
∴(x+BC)²=16+x² + 16 +BC²
即x²+BC²+2x·BC=16+x² + 16 +BC²
即2x·BC=32
即x·BC=16
即BC=16/x
∴S(ABCD)=(AD+BC)×AB/2=4[x+(16/x)]=4x + (64/x)
下面求最小值,主要是凑成完全平方式
S(ABCD)=4x + (64/x)
= (2√x)² + (8 /√x)²
= (2√x)² + (8 /√x)² - 2×(2√x)×(8/√x) + 2×(2√x)×(8/√x) (减去再加上乘积的2倍)
= (2√x - 8/√x)² + 2×(2√x)×(8/√x) (发现了没?乘积的2倍就是32)
≥2×(2√x)×(8/√x) = 32
注：∵ (2√x - 8/√x)²≥0,∴上式≥2×(2√x)×(8/√x),也就是32
当2√x = 8/√x,即x=4时,2√x - 8/√x=0,此时取到最小值32,此时四边形ABCD恰好是矩形.
