函数f(x)=x^2+8/x,证明：当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.

x^2+8/x= a^2+8/a
(x-a)[x+a - 8/(x*a)]=0
ax(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
因为x≠0,a>3
(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
所以x=a是其中一个根,要证明x^2+8/x= a^2+8/a有3个实数根.
只要证明：ax^2+a^2x - 8=0另有两根,
当
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根,那么有 a^4+4a*8>0
而它在a>0时,恒成立.
而且x=a不是其中一个根
因为a^3+a^3-8=0,a=4的立方根,不等于3,
所以当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根
其实这题中,当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
如图,只要a<x1或0<a≠x2(x2=4的立方根)关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
因为a>3,所以a^3+a^3-8>27+27-8>0