△ABC中,∠BAC=90°,M为AC的中点,AG⊥BM于点G,且BG=2GM.

⑴证明：∵AG⊥BM于点G,∠BAC=90°
∴∠AGB=90°
∴∠AGM=90°
∴∠ABG+∠BAG=90°
∴∠GAM+∠GMA=90°
∴∠BAG+∠GAM=90°
∴∠ABG=∠GAM（等量代换)
∠BGA=∠AGM（等量代换)
∴△BGA∽△AGM（两角对应相等,两三角形相似）
设：AG=x
∵BG=2GM
BG:AG=AG:MG
2:x=x:1
x²=2
x1=√2,x2=-√2(舍)
AB=√6(勾股定理）
AM=√3（勾股定理）
BC=3√2（勾股定理）
3√2÷√2=3
∴BC=3AG
⑵:由⑴得当AB=√6时
BM=BG+MG=3