证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛

显然级数为莱布尼茨级数,由于通项绝对值趋于0,故收敛
而∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))的通项sin(π/(n+1))~π/(n+1)且∑(n=1到∞)π∕(n+1)发散,
故原级数条件收敛
按照你改正后的那就太容易啦
证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛
显然级数证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛收敛（莱布尼茨判别法）
证明级数∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^n收敛即可
由于∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^ninf)1/π^n=1/(π-1)为有限数,故有比较判别法知
级数∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^n收敛
故原级数绝对收敛