A是n阶矩阵,α1,α2……αn是n维列向量,αn≠0,Aα1＝α2,……,Aαn-1=αn,Aα

由已知,A^(n-k)αk=αn≠0,A^(n-k+1)αk=Aαn=0
下证 α1,α2,...,αn 线性无关
设 k1α1+k2α2+...+knαn=0
用 A^(n-1) 左乘上式的两边,得 k1αn=0
由于 αn≠0,所以 k1=0
所以 k2α2+...+knαn=0
同理,用 A^(n-2) 左乘上式的两边,得 k2αn=0,同样得 k2=0.
依此类推得 k1=k2=...=kn=0
所以 α1,α2,...,αn 线性无关.
因为 A(α1,α2,...,αn)
= (Aα1,Aα2,...,Aαn)
= (α2,α3,...,αn-1,0)
=(α1,α2,...,αn)K
K =
0 0 ...0 0
1 0 ...0 0
0 1 ...0 0
......
0 0 ...1 0
所以有 (α1,α2,...,αn)^-1A(α1,α2,...,αn) = K
所以A与K相似.
而K的特征值只有0,且r(A)=n-1
所以K不能对角化
故A不能对角化.