已知3阶实对称矩阵A的3个特征值a1=0,a2=a3=2,且特征值0对应的特征向量为（1,0,-1）^T,求矩阵A

解:设A的属于特征值2的特征向量为(x1,x2,x3)'.
因为实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量正交
所以 x1-x3=0
其基础解系为: (1,0,1)', (0,1,0)', 且正交
将3个特征向量单位化得:
p1=(1/√2,0,-1/√2)', p2=(1/√2,0,1/√2)', p3=(0,1,0)'
令P=(p1,p2,p3), 则 P^-1AP = diag(0,2,2).
由于P是正交矩阵, 所以 P^-1 = P'.
所以有 A=Pdiag(0,2,2)P' =
1 0 1
0 2 0
1 0 1
[注: 在3个特征向量已经正交下,单位化是方便求P的逆]